O conjunto de todos os valores de a in R tais que a função f(x)=x^3-a x^2+x+1 seja injetora é

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos determinar para quais valores de ainR a função f(x)=x^3-ax^2+x+1 é injetora. O conteúdo envolvido é análise de monotonicidade de polinômio cúbico e vamos precisar usar derivada e discriminante de quadrática.

Passo 2

Calcular a derivada de f. Temos: f'(x)=3x^2-2ax+1 Para que f seja injetora (estritamente crescente), precisamos de f'(x)>=0 para todo x.

Passo 3

Analisar o discriminante de f'. O discriminante é De. Para que o polinômio quadrático não mude de sinal (ou seja, f'(x)>=0 sempre), requeremos De.

Passo 4

Resolver a desigualdade 4a^2-12<=0. Dividindo por 4: a^2-3<=0, logo a^2<=3. Isso implica -raiz3<= a<=raiz3, garantindo f'(x)>=0 e, consequentemente, f estritamente crescente e injetora.

Resposta

[-raiz3,raiz3]

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