Resolva as seguintes equações diferenciais para y=y(x) :
d yd x=x y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial dydx = x,y. O conteúdo é equação diferencial de separação de variáveis; vamos precisar reconhecer que podemos escrever todos os y de um lado e todos os x do outro para depois integrar.

Passo 2

Como a equação é separável, dividimos ambos os lados por y (supondo yneq0) e multiplicamos por dx, obtendo:
1y,dy = x,dx
Agora integramos os dois lados. No lado esquerdo integramos 1y em relação a y, e no direito integramos x em relação a x:
integral 1y,dy = integral x,dx
As integrais dão:
ln|y| = x^22 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Por fim, para isolar y, aplicamos exponencial em ambos os lados. Isso nos dá
|y| = e^x^22 + C = e^C ; e^x^22
Renomeando e^C por uma nova constante arbitrária K>0 e tirando o valor absoluto, temos a família geral de soluções:
y(x) = C,e^x^22
onde agora C pode ser qualquer constante real.

Passo 4

Pronto! Obtivemos a solução geral da equação diferencial separável.

Resposta

y(x) = C,e{\tfrac{x2}{2}}, onde C é uma constante arbitrária.

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