Resolva as seguintes equações diferenciais para y=y(x) :
d yd x+2 y=e^x

Passo 1

Estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma dydx+2y=e^x. O conteúdo é método do fator integrante, e vamos usar esse método para encontrar a solução geral y(x).

Passo 2

Para aplicar o método, colocamos a equação no formato padrão dydx+p(x)y=q(x) e identificamos p(x)=2 e q(x)=e^x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x) como mu(x)=e^integral p(x),dx=e^integral2,dx=e^2x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=e^2x. Assim obtemos:
e^2xdydx+2e^2xy=e^2xe^x=e^3x,
e reconhecemos que o lado esquerdo equivale a ddx(e^2xy).

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x, chegamos a
e^2xy=integral e^3x,dx=13e^3x+C
Para isolar y, basta dividir ambos os lados por e^2x.

Resposta

y(x)=tfrac13e^x+Ce^-2x

Exercícios relacionados