Resolva as seguintes equações diofantinas:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para resolver em inteiros a seguinte equação diofantina linear:
Informações dadas:
- coeficiente de
é ; - coeficiente de
é ; - termo independente é
.
Pergunta: encontrar todas as soluções inteiras, se existirem.
Passo 2
Regra-chave (explicação didática): uma equação diofantina linear
tem solução em inteiros se, e somente se, o máximo divisor comum de
e
divide
. Essa afirmação vem do fato de que quaisquer combinações inteiras de
e
sempre são múltiplos de
(e, recíprocamente, existe combinação inteira que gera exatamente
— identidade de Bézout). Portanto o primeiro passo prático é calcular
e verificar se ele divide
.
Passo 3
Calcular
com o algoritmo de Euclides (passo a passo):
Quando o resto é
, o último divisor não-nulo é o
. Logo
Passo 4
Verificar a condição de divisibilidade: precisamos saber se
divide
.
Fazendo a divisão inteira,
Fazendo a divisão inteira,
ou seja, o resto é
. Portanto
não divide
.
Passo 5
Conclusão a partir da regra do Passo 2: como
e
, a equação
não possui soluções em inteiros. Ou seja, não existe nenhum par
que satisfaça a equação.
Passo 6
Breve aula prática (extra útil para a prova): se o termo do lado direito fosse múltiplo de
, por exemplo
, então a equação
seria divisível por
e poderíamos simplificar, obtendo
Dessa forma, tomando um parâmetro inteiro
para
(por exemplo
), teríamos
e a solução geral seria
Isso mostra o procedimento a aplicar quando a condição de divisibilidade é satisfeita.
Resposta
Não existem soluções inteiras.