Resolva as seguintes equações diofantinas:
(a) 13 x+26 y=50

Passo 1

O enunciado pede para resolver em inteiros a seguinte equação diofantina linear:
13x+26y=50.
Informações dadas:
  • coeficiente de x é 13;
  • coeficiente de y é 26;
  • termo independente é 50.
    Pergunta: encontrar todas as soluções inteiras (x,y), se existirem.

Passo 2

Regra-chave (explicação didática): uma equação diofantina linear
ax+by=c
tem solução em inteiros se, e somente se, o máximo divisor comum de a e b divide c. Essa afirmação vem do fato de que quaisquer combinações inteiras de a e b sempre são múltiplos de \gcd(a,b) (e, recíprocamente, existe combinação inteira que gera exatamente \gcd(a,b) — identidade de Bézout). Portanto o primeiro passo prático é calcular \gcd(13,26) e verificar se ele divide 50.

Passo 3

Calcular \gcd(13,26) com o algoritmo de Euclides (passo a passo):
26 = 13\cdot 2 + 0.
Quando o resto é 0, o último divisor não-nulo é o \gcd. Logo
\gcd(13,26)=13.

Passo 4

Verificar a condição de divisibilidade: precisamos saber se 13 divide 50.
Fazendo a divisão inteira,
50 = 13\cdot 3 + 11,
ou seja, o resto é 11\neq0. Portanto 13 não divide 50.

Passo 5

Conclusão a partir da regra do Passo 2: como \gcd(13,26)=13 e 13\nmid 50, a equação
13x+26y=50
não possui soluções em inteiros. Ou seja, não existe nenhum par (x,y)\in\mathbb{Z}^2 que satisfaça a equação.

Passo 6

Breve aula prática (extra útil para a prova): se o termo do lado direito fosse múltiplo de 13, por exemplo 52, então a equação
13x+26y=52
seria divisível por 13 e poderíamos simplificar, obtendo
x+2y=4.
Dessa forma, tomando um parâmetro inteiro t para y (por exemplo y=t), teríamos x=4-2t e a solução geral seria
(x,y)=(4-2t,\;t),\qquad t\in\mathbb{Z}.
Isso mostra o procedimento a aplicar quando a condição de divisibilidade é satisfeita.

Resposta

Não existem soluções inteiras.

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