Seja
uma amostra aleatória de uma população com função densidade dada por
Sabe-se que
, determine o estimador de
:
usando o método de máxima verossimilhança.
usando o método de máxima verossimilhança.
Passo 1
O enunciado dá uma amostra aleatória
de uma população com função densidade
Foi informada também a esperança
. A pergunta é: determinar o estimador de
pelo método da máxima verossimilhança (MLE).
Informações relevantes listadas: são independentes e identicamente distribuídos (i.i.d.), cada
tem densidade
dada acima, e queremos o estimador de
que maximiza a verossimilhança baseada na amostra observada.
Informações relevantes listadas:
Passo 2
Escrevemos a função verossimilhança
como o produto das densidades dos
observações (independência permite multiplicar):
Explico: para variáveis i.i.d., a verossimilhança é o produto
. Aqui cada fator é
, logo
Passo 3
Para facilitar a maximização, usamos o logaritmo da verossimilhança (log-verossimilhança). Justificativa: o log é uma transformação monotônica crescente, então maximizá-lo é equivalente a maximizar
, e o log transforma produtos em somas, o que simplifica derivadas. Calculando o log:
Usando propriedades do logaritmo:
Observe que
é uma estatística suficiente para
neste modelo (apenas um comentário prático: toda a informação sobre
na amostra entra por essa soma de logs).
Passo 4
Agora derivamos
em relação a
e igualamos a zero para encontrar candidatos a máximo. Diferenciando termo a termo (regra: d/d
(
) =
; d/d
((
)A) = A, onde
):
Igualamos a zero para obter o ponto crítico:
Resolvendo para
:
Passo 5
Precisamos checar que o ponto crítico é máximo (e não mínimo). Calculamos a segunda derivada da log-verossimilhança:
Como
e
, temos
para todo
. Portanto a log-verossimilhança é concava em
e o ponto crítico encontrado é de fato um máximo global. Logo
é o estimador de máxima verossimilhança.
Passo 6
Comentário didático e verificação de sinal: como cada
satisfaz
, temos
para todo
. Assim
e o estimador
é positivo, o que é consistente com a restrição
. Interpretação prática: o MLE é o negativo do recíproco da média dos logaritmos amostrais; é fácil de calcular na prova sem calculadora simbólica — basta somar os
e dividir.