Seja X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória de uma população com função densidade dada por
f(x \mid \theta)=\theta x^{\theta-1}, \quad 0<x<1 \quad \text { e } \theta>0
Sabe-se que E(X)=\frac{\theta}{\theta+1}, determine o estimador de \theta :
usando o método de máxima verossimilhança.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra aleatória X_{1},X_{2},\dots,X_{n} de uma população com função densidade
f(x\mid \theta)=\theta x^{\theta-1},\quad 0<x<1,\\ \theta>0.
Foi informada também a esperança E(X)=\dfrac{\theta}{\theta+1}. A pergunta é: determinar o estimador de \theta pelo método da máxima verossimilhança (MLE).
Informações relevantes listadas: \{X_i\} são independentes e identicamente distribuídos (i.i.d.), cada X_i tem densidade f(x\mid\theta) dada acima, e queremos o estimador de \theta que maximiza a verossimilhança baseada na amostra observada.

Passo 2

Escrevemos a função verossimilhança L(\theta) como o produto das densidades dos n observações (independência permite multiplicar):
L(\theta)=\prod_{i=1}^{n} f(X_i\mid\theta)=\prod_{i=1}^{n} \theta X_i^{\theta-1}.
Explico: para variáveis i.i.d., a verossimilhança é o produto \prod f(X_i\mid\theta). Aqui cada fator é \theta X_i^{\theta-1}, logo
L(\theta)=\theta^{n}\prod_{i=1}^{n} X_i^{\theta-1}.

Passo 3

Para facilitar a maximização, usamos o logaritmo da verossimilhança (log-verossimilhança). Justificativa: o log é uma transformação monotônica crescente, então maximizá-lo é equivalente a maximizar L(\theta), e o log transforma produtos em somas, o que simplifica derivadas. Calculando o log:
\ell(\theta)=\log L(\theta)=\log\!\big(\theta^{n}\big)+\log\!\Big(\prod_{i=1}^{n} X_i^{\theta-1}\Big).
Usando propriedades do logaritmo:
\ell(\theta)=n\log\theta+(\theta-1)\sum_{i=1}^{n}\log X_i.
Observe que \sum_{i=1}^{n}\log X_i é uma estatística suficiente para \theta neste modelo (apenas um comentário prático: toda a informação sobre \theta na amostra entra por essa soma de logs).

Passo 4

Agora derivamos \ell(\theta) em relação a \theta e igualamos a zero para encontrar candidatos a máximo. Diferenciando termo a termo (regra: d/d \theta( \log\theta) = 1/\theta; d/d \theta(( \theta-1)A) = A, onde A=\sum_{i=1}^n\log X_i):
\frac{d}{d\theta}\ell(\theta)=\frac{n}{\theta}+\sum_{i=1}^{n}\log X_i.
Igualamos a zero para obter o ponto crítico:
\frac{n}{\theta}+\sum_{i=1}^{n}\log X_i=0.
Resolvendo para \theta:
\frac{n}{\theta}=-\sum_{i=1}^{n}\log X_i \quad\Longrightarrow\quad \hat\theta_{\text{MLE}}=-\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\log X_i}.

Passo 5

Precisamos checar que o ponto crítico é máximo (e não mínimo). Calculamos a segunda derivada da log-verossimilhança:
\frac{d^{2}}{d\theta^{2}}\ell(\theta)=-\frac{n}{\theta^{2}}.
Como \theta^{2}>0 e n>0, temos \dfrac{d^{2}}{d\theta^{2}}\ell(\theta)<0 para todo \theta>0. Portanto a log-verossimilhança é concava em \theta e o ponto crítico encontrado é de fato um máximo global. Logo \hat\theta_{\text{MLE}} é o estimador de máxima verossimilhança.

Passo 6

Comentário didático e verificação de sinal: como cada X_i satisfaz 0<X_i<1, temos \log X_i<0 para todo i. Assim \sum_{i=1}^{n}\log X_i<0 e o estimador \hat\theta_{\text{MLE}}=-n/\sum \log X_i é positivo, o que é consistente com a restrição \theta>0. Interpretação prática: o MLE é o negativo do recíproco da média dos logaritmos amostrais; é fácil de calcular na prova sem calculadora simbólica — basta somar os \log X_i e dividir.

Resposta

\displaystyle \hat\theta_{\text{MLE}}=-\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\log X_i}

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