Seja X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória de uma população com função densidade dada por
f(x \mid \theta)=\theta x^{\theta-1}, \quad 0<x<1 \quad \text { e } \theta>0
Sabe-se que E(X)=\frac{\theta}{\theta+1}, determine o estimador de \theta :
usando o método dos momentos;

Passo 1

O enunciado dá uma amostra aleatória X_{1},X_{2},\ldots,X_{n} de uma população com densidade
f(x\mid \theta)=\theta x^{\theta-1},\quad 0<x<1,\quad \theta>0.
Também informa que
E(X)=\frac{\theta}{\theta+1}.
A pergunta é: determinar o estimador de \theta usando o método dos momentos.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Temos n observações X_{1},\ldots,X_{n}.
  • A esperança populacional da variável é E(X)=\dfrac{\theta}{\theta+1}.
  • Queremos o estimador de \theta obtido pelo método dos momentos (ou seja, usando o primeiro momento).

Passo 2

O que é o método dos momentos (explicação didática)?
  • A ideia é simples: igualar momentos amostrais aos momentos populacionais.
  • O primeiro momento populacional é E(X). O primeiro momento amostral é a média amostral
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_{i}.
  • Pelo método dos momentos, substituímos o momento populacional pelo correspondente momento amostral e resolvemos a equação para o parâmetro desconhecido \theta.
  • Em resumo: equacionamos \bar{X}=E(X) e resolvemos essa equação para \theta. Isso nos dá o estimador por momentos para \theta.

Passo 3

Escrevendo a equação do método dos momentos usando a informação fornecida:
\bar{X}=E(X)=\frac{\theta}{\theta+1}.
Aqui \bar{X} é o número calculável a partir da amostra; \theta é o parâmetro incógnita que queremos estimar.

Passo 4

Agora resolvemos a equação \bar{X}=\dfrac{\theta}{\theta+1} passo a passo para isolar \theta.
Multiplicamos ambos os lados por \theta+1:
\bar{X}(\theta+1)=\theta.

Passo 5

Distribuímos o lado esquerdo:
\bar{X}\theta+\bar{X}=\theta.
Agora colocamos todos os termos que contêm \theta no mesmo lado. Subtraímos \bar{X}\theta de ambos os lados:
\bar{X}=\theta-\bar{X}\theta.
Fatoramos \theta no lado direito:
\bar{X}=\theta(1-\bar{X}).
Finalmente isolamos \theta dividindo por (1-\bar{X}) (note que, como 0<X_i<1, espera-se que \bar{X}\in(0,1), então 1-\bar{X}>0):
\theta=\frac{\bar{X}}{1-\bar{X}}.

Passo 6

Interpretação e observações finais (didática, para usar na prova):
  • O estimador por momentos obtido é uma função simples da média amostral; para calcular na prática você só precisa calcular \bar{X} e aplicar a fórmula acima.
  • Verifique o domínio: como cada X_i está em (0,1), normalmente \bar{X}\in(0,1), então o denominador 1-\bar{X} é positivo e a expressão faz sentido.
  • Se na prova pedirem, você pode comentar sobre propriedades (por exemplo, este estimador é consistente sob condições usuais, mas pode ser viesado para amostras pequenas — não pediram aqui, apenas fica a observação).

Resposta

\displaystyle \hat{\theta}_{\text{MM}}=\frac{\bar{X}}{1-\bar{X}}

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