Seja
uma amostra aleatória de uma população com função densidade dada por
Sabe-se que
, determine o estimador de
:
usando o método dos momentos;
usando o método dos momentos;
Passo 1
O enunciado dá uma amostra aleatória
de uma população com densidade
Também informa que
A pergunta é: determinar o estimador de
usando o método dos momentos.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Temos
observações . - A esperança populacional da variável é
. - Queremos o estimador de
obtido pelo método dos momentos (ou seja, usando o primeiro momento).
Passo 2
O que é o método dos momentos (explicação didática)?
- A ideia é simples: igualar momentos amostrais aos momentos populacionais.
- O primeiro momento populacional é
. O primeiro momento amostral é a média amostral
- Pelo método dos momentos, substituímos o momento populacional pelo correspondente momento amostral e resolvemos a equação para o parâmetro desconhecido
. - Em resumo: equacionamos
e resolvemos essa equação para . Isso nos dá o estimador por momentos para .
Passo 3
Escrevendo a equação do método dos momentos usando a informação fornecida:
Aqui
é o número calculável a partir da amostra;
é o parâmetro incógnita que queremos estimar.
Passo 4
Agora resolvemos a equação
passo a passo para isolar
.
Multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 5
Distribuímos o lado esquerdo:
Agora colocamos todos os termos que contêm
no mesmo lado. Subtraímos
de ambos os lados:
Fatoramos
no lado direito:
Finalmente isolamos
dividindo por
(note que, como
, espera-se que
, então
):
Passo 6
Interpretação e observações finais (didática, para usar na prova):
- O estimador por momentos obtido é uma função simples da média amostral; para calcular na prática você só precisa calcular
e aplicar a fórmula acima. - Verifique o domínio: como cada
está em , normalmente , então o denominador é positivo e a expressão faz sentido. - Se na prova pedirem, você pode comentar sobre propriedades (por exemplo, este estimador é consistente sob condições usuais, mas pode ser viesado para amostras pequenas — não pediram aqui, apenas fica a observação).