Verifique se a função f: A \rightarrow B é um homomorfismo e determine o núcleo de cada um, nos seguintes casos:
A=\mathbb{Z}, B=\mathbb{Z}_{n}, f(x)=\bar{x};

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
f\colon \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_{n},\quad f(x)=\bar{x}
é um homomorfismo de grupos abelianos (com a operação “ +”), e em caso positivo determinar o núcleo de f. Vamos usar a definição de homomorfismo de grupos e a definição de núcleo.

Passo 2

Para ser homomorfismo precisamos ter, para todo x,y\in\mathbb{Z},
f(x+y)=f(x)+f(y).
De fato, como f(x)=\overline{x} em \mathbb{Z}_{n},
f(x+y)=\overline{x+y} \quad\text{e}\quad f(x)+f(y)=\bar{x}+\bar{y}=\overline{x+y}.
Logo
f(x+y)=\overline{x+y}=\bar{x}+\bar{y}=f(x)+f(y),
portanto f é um homomorfismo de grupos.

Passo 3

O núcleo de um homomorfismo f é definido por
\ker(f)=\{\,a\in\mathbb{Z}\mid f(a)=0_{\,\mathbb{Z}_{n}}\}.
Aqui 0_{\,\mathbb{Z}_{n}}=\bar{0} é o elemento neutro em \mathbb{Z}_{n}.

Passo 4

Calculamos
\ker(f)=\{\,x\in\mathbb{Z}\mid \bar{x}=\bar{0}\}.
Dizemos que \bar{x}=\bar{0} exatamente quando n divide x. Assim
\ker(f)=\{\,x\in\mathbb{Z}\mid n\mid x\} = n\mathbb{Z}.

Resposta

f é um homomorfismo de (\mathbb{Z},+) em (\mathbb{Z}_{n},+) e
\ker(f)=n\mathbb{Z}.

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