Verifique se a função f: A \rightarrow B é um homomorfismo e determine o núcleo de cada um, nos seguintes casos:
A=\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, B=\mathbb{Z}, f(x, y)=x;

Passo 1

O enunciado define a função
f\colon A \to B,\quad A = \mathbb{Z}\times\mathbb{Z},\; B = \mathbb{Z},\; f(x,y) = x
e pede para a) verificar se f é homomorfismo de grupos (ambos com operação de soma) e b) determinar \ker(f).

Passo 2

Para checar o homomorfismo, usamos a definição em grupos aditivos:
f\bigl((x_{1},y_{1}) + (x_{2},y_{2})\bigr) = f(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2}) = x_{1}+x_{2}
por outro lado
f(x_{1},y_{1}) + f(x_{2},y_{2}) = x_{1} + x_{2}.
Como os dois resultados coincidem para todos (x_{1},y_{1}), (x_{2},y_{2}), f é homomorfismo de grupos.

Passo 3

O núcleo de f é o conjunto
\ker(f) = \{(x,y)\in \mathbb{Z}\times\mathbb{Z} \mid f(x,y)=0\}.
Como f(x,y)=x, a condição f(x,y)=0 equivale a x=0. Logo
\ker(f) = \{(0,y)\mid y\in \mathbb{Z}\}.

Resposta

f é homomorfismo de grupos aditivos e
\ker(f) = \{(0,y)\mid y\in \mathbb{Z}\}.

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