Esboce a região, o sólido e encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
y=e^x, y=0, x=0, x=1 em torno do eixo x

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região do primeiro quadrante limitada por
;y=e^x,;y=0,;x=0,;x=1.
O conteúdo utilizado é o método dos discos (ou cilindros) para volumes de revolução, em que cada fatia perpendicular ao eixo x gera um disco de raio igual à função y=e^x.

Passo 2

Esboço da região e do sólido:
A curva y=e^x cresce de (0,1) até (1,e). As retas verticais x=0 e x=1 e o eixo x fecham um “pedaço” de área sob e^x. Revolvendo essa região em torno do eixo x, obtemos um sólido cujo contorno lateral é dado pela revolução da curva exponencial, formando um “chifre” crescente de raio e^x.

Passo 3

Pelo método dos discos, cada fatia em x de espessura dx gera um disco de raio
R(x)=e^x
e área da secção transversal
A(x)=pil(R(x)r)^2=pi,e^2x
Assim, o volume é
V=integralx=0^1A(x),dx =piintegral0^1e^2x,dx

Passo 4

Calculemos a integral:
integral0^1e^2x,dx =[e^2x2]0^1 =e^2-12
Portanto,
V =picdote^2-12

Resposta

V=pi2l(e^2-1r)

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