Resolva as seguintes equações homogêneas:
y^prime=x+yx

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = x+yx
O conteúdo é de equações homogêneas no sentido de que o membro direito depende apenas de y/x. Vamos usar a substituição padrão
y = u(x),x,
onde u = y/x.

Passo 2

Expressamos y' em função de u. Diferenciando y = u x em relação a x pelo produto, obtemos
y' = u + x,u'

Passo 3

Substituímos essa expressão em y' = (x+y)/x. Como y = u x, o lado direito fica
x + yx = x + u xx = 1 + u
Logo a equação diferencial vira
u + x,u' = 1 + u

Passo 4

Cancelamos u dos dois lados e isolamos u':
x,u' = 1 Longrightarrow u' = 1x

Passo 5

Integramos em relação a x:
integral u',dx = integral 1x,dx Longrightarrow u(x) = lnlvert xrvert + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltamos à variável original y = u,x:
y(x) = xl(lnlvert xrvert + Cr) = xlnlvert xrvert + Cx

Resposta

y = xlnlvert xrvert + Cx,
onde C é a constante de integração.

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