Resolva as seguintes equações homogêneas:
d yd x=x^2+y^2x y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
dydx=x^2+y^2x,y
e pede a solução geral. Como o lado direito é uma função de tfracyx, reconhecemos uma equação homogênea de grau zero. Vamos usar a substituição
y=v,x,
onde v é função de x.

Passo 2

Com y=v,x temos
dydx=v + xdvdx
Substituindo na equação original,
v + xdvdx =x^2+(v,x)^2x,(v,x) =x^2(1+v^2)x^2v =1+v^2v

Passo 3

Isolamos o termo com dv/dx:
xdvdx =1+v^2v-v =1+v^2-v^2v =1v
Logo
dvdx=1v,x
Isso permite separar variáveis:
v,dv=dxx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral v,dv =integral dxx Longrightarrow v^22=lnl|xr|+C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original y=v,x, temos
v^2=y^2x^2 Longrightarrow y^2x^2=2lnl|xr|+2C
Renomeando a constante 2C simplesmente por C, obtemos a solução geral.

Resposta

y^2=x^2l(C+2lnlvert xrvertr),
onde C é constante arbitrária.

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