Resolva as seguintes equações homogêneas:
2 y-x y^prime=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
2y - x,y' = 0
e pede a solução geral. Aqui usamos o método de separação de variáveis, pois podemos escrever a equação na forma em que as variáveis y e x ficam separadas.

Passo 2

Vamos isolar y'. Partindo de
2y - x,y' = 0,
passamos o termo com y' para o outro lado e dividimos por x:
x,y' = 2y Longrightarrow y' = 2yx
Em seguida escrevemos y' = dydx e separamos as variáveis:
dydx = 2yx Longrightarrow 1y,dy = 2x,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral 1y,dy = integral 2x,dx
lnlvert yrvert = 2lnlvert xrvert + C,
sendo C a constante de integração.

Passo 4

Para isolar y, usamos exponenciação:
lnlvert yrvert = lnl(lvert xrvert^2r) + C Longrightarrow lvert yrvert = e^C,x^2
Definindo A = pm e^C, obtemos a solução geral
y = A,x^2,
com A constante real.

Resposta

y = C,x^2, CinR

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