Resolva
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem: $ y’’ + 4y’ + 8y = \sin x $, com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa, e depois aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: $ y’’ + 4y’ + 8y = 0 $. Para isso, montamos a equação característica, que vem da substituição $ y = e^{rt} $:
Passo 3
Resolvendo a equação característica $ r^2 + 4r + 8 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá raízes complexas $ r = -2 \pm 2i $, o que implica que a solução geral da equação homogênea é:
Passo 4
Agora, vamos achar uma solução particular da equação completa $ y’’ + 4y’ + 8y = \sin x $. Como o lado direito é $ \sin x $, tentamos uma solução do tipo:
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que vamos determinar.
Passo 5
Calculamos as derivadas de $ y_p(x) $:
Substituindo $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
Simplificando:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos $ A = \frac{4}{65} $ e $ B = \frac{7}{65} $. Portanto, a solução particular é:
Passo 6
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a particular:
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, quando $ x = 0 $:
Segundo, calculamos $ y’(x) $ e aplicamos $ y’(0) = 0 $:
Aplicando $ x = 0 $:
Resposta
A solução da equação diferencial é: