Resolva y^prime prime+4 y^prime+8 y=sen x ; y(0)=1, y^prime(0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem: $ y’’ + 4y’ + 8y = \sin x $, com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa, e depois aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: $ y’’ + 4y’ + 8y = 0 $. Para isso, montamos a equação característica, que vem da substituição $ y = e^{rt} $:
y'' + 4y' + 8y = 0

Passo 3

Resolvendo a equação característica $ r^2 + 4r + 8 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
r^2 + 4r + 8 = 0
Isso nos dá raízes complexas $ r = -2 \pm 2i $, o que implica que a solução geral da equação homogênea é:
r = -4 pm raiz16 - 322 = -4 pm raiz-162 = -2 pm 2i

Passo 4

Agora, vamos achar uma solução particular da equação completa $ y’’ + 4y’ + 8y = \sin x $. Como o lado direito é $ \sin x $, tentamos uma solução do tipo:
y'' + 4y' + 8y = sin x
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que vamos determinar.

Passo 5

Calculamos as derivadas de $ y_p(x) $:
yp(x)
yp'(x) = -A sin x + B cos x
Substituindo $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
yp''(x) = -A cos x - B sin x
Simplificando:
yp
yp'
Isso nos dá o sistema de equações:
yp''
(-A cos x - B sin x) + 4(-A sin x + B cos x) + 8(A cos x + B sin x) = sin x
Resolvendo esse sistema, encontramos $ A = \frac{4}{65} $ e $ B = \frac{7}{65} $. Portanto, a solução particular é:
(-A + 4B + 8A) cos x + (-B - 4A + 8B) sin x = sin x

Passo 6

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a particular:
y(x) = e^-2x (C1 cos(2x) + C2 sin(2x)) + 465 cos x + 765 sin x
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, quando $ x = 0 $:
C1
C2
Segundo, calculamos $ y’(x) $ e aplicamos $ y’(0) = 0 $:
x = 0
Aplicando $ x = 0 $:
y(0) = e^0 (C1 cos 0 + C2 sin 0) + 465 cos 0 + 765 sin 0 = C1 + 465 = 1
C1 = 1 - 465 = 6165
y'(x)
y'(0) = 0

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = e^-2x ( 6165 cos(2x) + 2326 sin(2x) ) + 465 cos x + 765 sin x

Exercícios relacionados