Resolva as seguintes equações homogêneas.
e^y / x d x+5^2 y / x d y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo homogênea. O enunciado que a gente tem é:
e^y / x , dx + 5^2 y / x , dy = 0
Para resolver esse tipo de equação, a gente precisa reconhecer que ela é homogênea, ou seja, os termos têm a mesma “grau” quando consideramos $ y $ como uma função de $ x $. Vamos precisar usar uma substituição para facilitar a resolução, transformando a equação em uma mais simples que a gente consiga integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que significa ser uma equação homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se os termos podem ser expressos como uma função de $ \frac{y}{x} $. Aqui, vemos que os expoentes $ \frac{y}{x} $ e $ \frac{2y}{x} $ indicam que a equação é, de fato, homogênea.
Então, vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos definir:
yx
Isso significa que $ y = v \cdot x $.

Passo 3

Agora, vamos derivar $ y $ em relação a $ x $:
y
Substituindo $ y = v \cdot x $ e $ \frac{dy}{dx} $ na equação original, temos:
x

Passo 4

Vamos distribuir o $ 5^{2v} $ na expressão:
5^2v
Agora, vamos agrupar os termos que contêm $ dx $:
e^v , dx + 5^2v cdot v , dx + 5^2v cdot x , dv = 0

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para isolar $ dv $:
dv
Dividindo ambos os lados por $ 5^{2v} \cdot x $:
5^2v cdot x , dv = - ( e^v + v cdot 5^2v ) dx
Observe que a variável $ x $ pode ser cancelada parcialmente:
5^2v cdot x
Mas isso ainda está um pouco complicado. Vamos tentar uma abordagem diferente para facilitar a integração.

Passo 6

Vamos reescrever a equação original após a substituição $ v = \frac{y}{x} $:
v = yx
Distribuindo novamente:
e^v , dx + 5^2v , (v , dx + x , dv) = 0
Agora, vamos fatorar $ dx $:
e^v , dx + v cdot 5^2v , dx + x cdot 5^2v , dv = 0
Então, podemos escrever:
dx

Passo 7

Agora, vamos separar as variáveis para integrar:
x cdot dv = - e^v + v cdot 5^2v5^2v , dx
Dividindo ambos os lados por $ x $:
x
Isso ainda está complicado para integrar diretamente, então precisamos encontrar uma maneira de simplificar a expressão.

Passo 8

Vamos tentar reescrever a equação de forma que possamos integrar facilmente. Observando a equação:
e^v , dx + 5^2v , dy = 0
Sabemos que $ dy = v , dx + x , dv $. Substituindo:
dy = v , dx + x , dv
Distribuindo:
e^v , dx + 5^2v (v , dx + x , dv) = 0
Agrupando termos de $ dx $:
e^v , dx + v cdot 5^2v , dx + x cdot 5^2v , dv = 0
Dividindo toda a equação por $ x \cdot 5^{2v} $:
dx
Isso simplifica para:
( e^v + v cdot 5^2v ) dx + x cdot 5^2v , dv = 0
Agora, podemos reescrever como:
x cdot 5^2v

Passo 9

Para facilitar a integração, vamos separar as variáveis $ v $ e $ x $:
v
Isso pode ser rearranjado para:
x
Agora, temos uma equação linear na forma padrão:
dvdx = - ( e^vx cdot 5^2v + vx )
Onde:
  • $ P(x) = \frac{1}{x} $
  • $ Q(x) = - \frac{e^{v}}{x \cdot 5^{2v}} $

Passo 10

Para resolver essa equação linear, precisamos encontrar o fator integrante $ \mu(x) $, que é dado por:
mu(x)
Multiplicando toda a equação por $ \mu(x) = x $:
mu(x) = e^integral P(x) , dx = e^integral 1x , dx = e^ln x = x

Passo 11

Agora, a equação está na forma que permite aplicar a regra do produto para a derivada:
ddx (v cdot x) = - e^v5^2v
Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
x
Isso simplifica para:
integral ddx (v cdot x) , dx = integral - e^v5^2v , dx
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 12

Para resolver a integral do lado direito, precisamos expressar tudo em termos de $ v $. Isso envolve manipular a expressão para obter uma forma integrável. Entretanto, devido à complexidade dos termos envolvendo $ v $ e $ 5^{2v} $, essa integral pode não ter uma solução elementar em termos de funções conhecidas.
Portanto, a solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
v
Onde $ v = \frac{y}{x} $.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é expressa implicitamente por:
yx cdot x = - integral e^yx5^2yx , dx + C
Simplificando:
y = - integral e^yx5^2yx , dx + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Exercícios relacionados