Resolva as seguintes equações homogêneas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo homogênea. O enunciado que a gente tem é:
Para resolver esse tipo de equação, a gente precisa reconhecer que ela é homogênea, ou seja, os termos têm a mesma “grau” quando consideramos $ y $ como uma função de $ x $. Vamos precisar usar uma substituição para facilitar a resolução, transformando a equação em uma mais simples que a gente consiga integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que significa ser uma equação homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se os termos podem ser expressos como uma função de $ \frac{y}{x} $. Aqui, vemos que os expoentes $ \frac{y}{x} $ e $ \frac{2y}{x} $ indicam que a equação é, de fato, homogênea.
Então, vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos definir:
Isso significa que $ y = v \cdot x $.
Passo 3
Agora, vamos derivar $ y $ em relação a $ x $:
Substituindo $ y = v \cdot x $ e $ \frac{dy}{dx} $ na equação original, temos:
Passo 4
Vamos distribuir o $ 5^{2v} $ na expressão:
Agora, vamos agrupar os termos que contêm $ dx $:
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para isolar $ dv $:
Dividindo ambos os lados por $ 5^{2v} \cdot x $:
Observe que a variável $ x $ pode ser cancelada parcialmente:
Mas isso ainda está um pouco complicado. Vamos tentar uma abordagem diferente para facilitar a integração.
Passo 6
Vamos reescrever a equação original após a substituição $ v = \frac{y}{x} $:
Distribuindo novamente:
Agora, vamos fatorar $ dx $:
Então, podemos escrever:
Passo 7
Agora, vamos separar as variáveis para integrar:
Dividindo ambos os lados por $ x $:
Isso ainda está complicado para integrar diretamente, então precisamos encontrar uma maneira de simplificar a expressão.
Passo 8
Vamos tentar reescrever a equação de forma que possamos integrar facilmente. Observando a equação:
Sabemos que $ dy = v , dx + x , dv $. Substituindo:
Distribuindo:
Agrupando termos de $ dx $:
Dividindo toda a equação por $ x \cdot 5^{2v} $:
Isso simplifica para:
Agora, podemos reescrever como:
Passo 9
Para facilitar a integração, vamos separar as variáveis $ v $ e $ x $:
Isso pode ser rearranjado para:
Agora, temos uma equação linear na forma padrão:
Onde:
- $ P(x) = \frac{1}{x} $
- $ Q(x) = - \frac{e^{v}}{x \cdot 5^{2v}} $
Passo 10
Para resolver essa equação linear, precisamos encontrar o fator integrante $ \mu(x) $, que é dado por:
Multiplicando toda a equação por $ \mu(x) = x $:
Passo 11
Agora, a equação está na forma que permite aplicar a regra do produto para a derivada:
Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
Isso simplifica para:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 12
Para resolver a integral do lado direito, precisamos expressar tudo em termos de $ v $. Isso envolve manipular a expressão para obter uma forma integrável. Entretanto, devido à complexidade dos termos envolvendo $ v $ e $ 5^{2v} $, essa integral pode não ter uma solução elementar em termos de funções conhecidas.
Portanto, a solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
Onde $ v = \frac{y}{x} $.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é expressa implicitamente por:
Simplificando:
Onde $ C $ é a constante de integração.