Resolva as seguintes equações lineares homogêneas utilizando a solução particular
indicada.
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação homogênea de segunda ordem
utilizando a solução particular conhecida
. O conteúdo é redução de ordem em equações lineares homogêneas e vamos precisar colocar a equação em forma padrão e aplicar a fórmula para a segunda solução.
Passo 2
Primeiro passo concreto: dividimos a equação original por
para alcançar a forma
Fazendo a divisão, obtemos
Logo
Passo 3
Agora vem a ideia da redução de ordem: buscamos uma segunda solução da forma
. Definimos
e usamos a fórmula geral
Calculando
Como
, segue
Passo 4
Integrando
, chegamos a
Podemos desprezar a constante de integração neste passo (ela se absorve nos constantes finais), então tomamos
. Assim a segunda solução é
Passo 5
Verificamos que
e
são linearmente independentes, logo a solução geral da equação homogênea é
com
e
constantes arbitrárias.
Resposta
y(x)=C_{1}x{2}+C_{2}x{3}