Resolva as seguintes equações lineares homogêneas utilizando a solução particular y1(x) indicada.
(e) x^2 y^prime prime-4 x y^prime+6 y=0, y1(x)=x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação homogênea de segunda ordem
x^2y''-4xy'+6y=0
utilizando a solução particular conhecida y1(x)=x^2. O conteúdo é redução de ordem em equações lineares homogêneas e vamos precisar colocar a equação em forma padrão e aplicar a fórmula para a segunda solução.

Passo 2

Primeiro passo concreto: dividimos a equação original por x^2 para alcançar a forma
y''+P(x)y'+Q(x)y=0
Fazendo a divisão, obtemos
y''-4xy'+6x^2y=0
Logo
P(x)=-4x, Q(x)=6x^2

Passo 3

Agora vem a ideia da redução de ordem: buscamos uma segunda solução da forma y2(x)=v(x),y1(x). Definimos v'(x)=u(x) e usamos a fórmula geral
u(x)=expl(-integral P(x),dxr)l(y1(x)r)^2
Calculando
integral P(x),dx=integral -4x,dx=-4ln|x|, exp(-integral P(x),dx)=exp(4ln|x|)=x^4
Como (y1(x))^2=(x^2)^2=x^4, segue
u(x)=x^4x^4=1

Passo 4

Integrando u(x)=1, chegamos a
v'(x)=1Rightarrow v(x)=integral 1,dx = x + C
Podemos desprezar a constante de integração neste passo (ela se absorve nos constantes finais), então tomamos v(x)=x. Assim a segunda solução é
y2(x)=v(x),y1(x)=xcdot x^2=x^3

Passo 5

Verificamos que y1(x)=x^2 e y2(x)=x^3 são linearmente independentes, logo a solução geral da equação homogênea é
y(x)=C1,x^2+C2,x^3,
com C1 e C2 constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}x{2}+C_{2}x{3}

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