Resolva as seguintes equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes.
(d) 4 y^prime prime-25 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: equações diferenciais lineares de segunda ordem homogêneas.
Para isso, vamos usar o método da equação característica, que transforma a EDO numa equação algébrica em r.

Passo 2

Vamos assumir uma solução do tipo y=e^r x. Então
y'=r e^r x,
y''=r^2 e^r x
Substituindo em 4y''-25y=0 e fatorando e^r x, que nunca é zero, obtemos a equação característica:

Passo 3

A equação característica fica:
4r^2 - 25 = 0
Essa é uma equação quadrática em r.

Passo 4

Resolvendo 4r^2 - 25 = 0:
4r^2 = 25
r^2 = 254
r = pm 52

Passo 5

Como as raízes r1=5/2 e r2=-5/2 são reais e distintas, a solução geral da EDO é dada por combinação linear de e^r1 x e e^r2 x.

Resposta

y(x)=C1e^tfrac52x+C2e^-tfrac52x

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