Resolva as seguintes equações lineares homogêneas utilizando a solução particular y1(x) indicada.
(i) x y^prime prime+(x+2) y^prime+y=0, y1(x)=x^-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
x,y''+(x+2),y'+y=0
usando a solução particular já dada y1(x)=x^-1. O conteúdo é o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução linearmente independente.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=0. Dividindo tudo por x (supondo xneq0), temos
y''+l(1+2xr)y'+1xy=0,
daí p(x)=1+2/x e q(x)=1/x.

Passo 3

No método de redução de ordem sabemos que, se y1 é solução, uma segunda solução pode ser buscada como
y2=y1(x)integrale^-integral p(x),dxy1(x)^2,dx
Vamos calcular integral p(x),dx.

Passo 4

Integramos
integral p(x),dx=integrall(1+2xr)dx=x+2ln|x|
Então
e^-integral p(x)dx=e^-x-2ln|x|=e^-x,x^-2
Substituindo em y2:

Passo 5

Temos
y2=x^-1integrale^-xx^-2(x^-1)^2,dx=x^-1integral e^-x,dx=x^-1(-e^-x)=-e^-xx
Como constante global não importa, basta tomar
y2(x)=e^-xx

Passo 6

A solução geral é combinação linear de y1 e y2. Assim,
y(x)=C11x+C2e^-xx

Resposta

A solução geral é
y(x)=C11x+C2e^-xx

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