Resolva as seguintes equações lineares homogêneas utilizando a solução particular y1(x) indicada.
(d) 2 x^2 y^prime prime+3 x y^prime-y=0, y1(x)=x^-1

Passo 1

A equação dada é 2x^2y''+3xy'-y=0, que é uma EDO linear homogênea de segunda ordem. Foi fornecida uma solução particular y1(x)=x^-1. Para encontrar a solução geral, vamos usar o método de redução de ordem: se y1(x) é uma solução, busca-se outra solução da forma y2(x)=y1(x)v(x).

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0 dividindo tudo por 2x^2:
y''+32xy'-12x^2y=0
Aqui temos P(x)=32x e Q(x)=-12x^2.

Passo 3

O método de redução de ordem nos dá a fórmula
y2(x)=y1(x)integral e^-integral P(x),dx[y1(x)]^2,dx
Calculamos primeiro o fator exponencial:
integral P(x),dx=integral 32x,dx=32ln x,
portanto
e^-integral P(x)dx=e^-tfrac32ln x=x^-3/2

Passo 4

Agora formamos o integrando:
e^-integral P(x)dx[y1(x)]^2=x^-3/2cdot (x^-1)^-2=x^-3/2cdot x^2=x^1/2
Integramos:
integral x^1/2,dx=23x^3/2

Passo 5

Logo obtemos
y2(x)=y1(x)cdot 23x^3/2=x^-1cdot 23x^3/2=23x^1/2
Assim, a solução geral da EDO é dada pela combinação linear de y1 e y2.

Resposta

y(x)=C1x^-1+C2x^1/2

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