Resolva as seguintes equações lineares homogêneas utilizando a solução particular y1(x) indicada.
(b) (x^2-x) y^prime prime-x y^prime+y=0, y1(x)=x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem (x^2 - x),y'' - x,y' + y = 0 e uma solução particular y1(x)=x. Para resolver, vamos usar o método de redução de ordem em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação na forma padrão y'' + P(x),y' + Q(x),y = 0. Dividindo tudo por (x^2 - x), obtemos:
y'' - 1x-1,y' + 1x(x-1),y = 0

Passo 3

Assim, identificamos:
P(x) = -1x-1, Q(x) = 1x(x-1)

Passo 4

No método de redução de ordem, a segunda solução y2(x) é dada por
y2(x) = y1(x),integral e^-integral P(x),dx[y1(x)]^2,dx

Passo 5

Calculamos integral P(x),dx = integral -1x-1,dx = -ln|x-1|. Logo
e^-integral P(x),dx = e^ln|x-1| = x-1
(assumindo x>1). Substituindo em y2:
y2(x) = x integral x-1x^2,dx = x integral l(1x-1x^2r),dx = xl(ln|x| + tfrac1xr) = xln|x| + 1

Passo 6

A solução geral da equação é combinação linear de y1 e y2:
y = C1,x + C2,l(xln|x| + 1r)

Resposta

y = C1 x + C2 (x ln|x| + 1)

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