Resolva s seguintes problemas de valor inicial
(b) y^prime prime+y^prime-6 y=0, y(0)=10 e y^prime(0)=0

Passo 1

Neste problema, vamos resolver a equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes y'' + y' - 6y = 0 sujeita às condições iniciais y(0)=10 e y'(0)=0. Precisaremos montar a equação característica e depois aplicar as condições para encontrar as constantes.

Passo 2

Assumindo uma solução do tipo y=e^rt, substituímos na equação para obter a equação característica em r:
r^2 + r - 6 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação característica por fatoração ou Bhaskara, encontramos as raízes
r1 = 2 e r2 = -3

Passo 4

A solução geral da equação diferencial é combinação linear das exponenciais correspondentes às raízes:
y(t) = C1 e^2t + C2 e^-3t

Passo 5

Derivando em relação a t para usar a condição em y', temos
y'(t) = 2C1 e^2t - 3C2 e^-3t

Passo 6

Aplicando as condições iniciais em t=0:
  1. y(0)=C1 + C2 = 10
  2. y'(0)=2C1 - 3C2 = 0

Passo 7

Resolvendo o sistema
C1 + C2 = 102C1 - 3C2 = 0
da segunda equação vem C1 = tfrac32C2. Substituindo na primeira:
tfrac32C2 + C2 = 10 implies tfrac52C2 = 10 implies C2 = 4, C1 = 6

Passo 8

Substituindo C1=6 e C2=4 na solução geral, obtemos:
y(t) = 6e^2t + 4e^-3t

Resposta

y(t) = 6e^2t + 4e^-3t

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