Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial.
(f)
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Passo 1
O enunciado pede para usar transformada de Laplace para achar a solução de uma EDO linear com forçamento por degrau deslocado. A equação é
y’’ + y’ + \tfrac54 y = t - u_{\pi/2}(t),(t-\pi/2),
com condições iniciais y(0)=0, y’(0)=0. Vamos precisar usar propriedades de transformada de Laplace de derivadas, da função t, e do teorema do deslocamento (Heaviside).
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Como y(0)=y’(0)=0 temos
L{y’’}=s^2Y(s),
L{y’}=sY(s),
L{y}=Y(s).
L{y’}=sY(s),
L{y}=Y(s).
Logo a parte esquerda vira
(s^2+s+5/4),Y(s).
Passo 3
Transformamos o lado direito usando
L{t}=1/s^2,
L{u_a(t),(t-a)}=e^{-a s}L{t}=e^{-a s}/s^2.
L{u_a(t),(t-a)}=e^{-a s}L{t}=e^{-a s}/s^2.
Aqui a=π/2, então
L{t - u_{\pi/2}(t)(t-\pi/2)} = 1/s^2 - e^{-\pi s/2}/s^2.
Passo 4
Isolando Y(s) obtemos
Y(s) = \frac{1/s^2 - e^{-\pi s/2}/s2}{s2 + s + 5/4}.
Ou seja
Y(s) = Y_1(s) - e^{-\pi s/2},Y_1(s),
com Y_1(s)=1/[s2(s2+s+5/4)].
Passo 5
Para achar y_1(t)=L^{-1}{Y_1(s)} fazemos frações parciais. Note que
s2+s+5/4=(s+1/2)2+1.
Assumimos
1/[s2((s+1/2)2+1)] = A/s + B/s^2 + [C(s+1/2)+D]/((s+1/2)^2+1)
e determinamos
B=4/5, A=-16/25, C=16/25, D=-12/25.
Passo 6
Com esses coeficientes temos
Y_1(s) = -\tfrac{16}{25}\frac1s + \tfrac45\frac1{s^2} + \tfrac{16}{25}\frac{s+1/2}{(s+1/2)^2+1} - \tfrac{12}{25}\frac1{(s+1/2)^2+1}.
Invertendo termo a termo:
L^{-1}{1/s}=1,
L{-1}{1/s2}=t,
L{-1}{(s+1/2)/((s+1/2)2+1)}=e^{-t/2}\cos t,
L{-1}{1/((s+1/2)2+1)}=e^{-t/2}\sin t.
L{-1}{1/s2}=t,
L{-1}{(s+1/2)/((s+1/2)2+1)}=e^{-t/2}\cos t,
L{-1}{1/((s+1/2)2+1)}=e^{-t/2}\sin t.
Passo 7
Assim chegamos em
g_1(t)=y_1(t) = -\tfrac{16}{25} + \tfrac45,t + \tfrac{16}{25}e^{-t/2}\cos t - \tfrac{12}{25}e^{-t/2}\sin t.
Passo 8
Finalmente aplicamos o teorema do deslocamento: se Y(s)=Y_1(s)-e^{-\pi s/2}Y_1(s) então
y(t)=g_1(t)-u_{\pi/2}(t),g_1(t-\pi/2).