Resolva as seguintes equações lineares de primeira ordem:
y^prime+2 x y=x ; y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y'(x) + 2x,y(x) = x
com condição inicial y(0)=2. O método a usar é o fator integrante para equações lineares do tipo
y' + P(x),y = Q(x)

Passo 2

Identificamos P(x)=2x. O fator integrante é
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral 2x,dx = e^x^2

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(x), obtemos
e^x^2y' + 2x,e^x^2y = x,e^x^2
que equivale a
ddxl(e^x^2yr) = x,e^x^2
Integrando ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(e^x^2yr),dx = integral x,e^x^2,dx Longrightarrow e^x^2y = 12e^x^2 + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Isolando y e aplicando y(0)=2:
y = 12 + C,e^-x^2,
2 = y(0) = 12 + C Longrightarrow C = 32

Passo 5

Substituindo C na solução geral, obtemos a solução particular
y(x) = 12 + 32,e^-x^2

Resposta

y(x) = 12 + 32,e^-x^2

Exercícios relacionados