Resolva as seguintes equações:
log 13(2 x^2-9 x+4)=-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de logaritmo
log1/3l(2x^2-9x+4r) = -2.
O conteúdo aqui é equação logarítmica com base b<1. Vamos precisar: (1) garantir o domínio do logaritmando positivo e (2) usar a definição logb(A)=Ciff A=b^C.

Passo 2

Determinamos o domínio exigindo
2x^2-9x+4 > 0
Para isso, achamos as raízes de 2x^2-9x+4=0: o discriminante é De<a = (-9)^2-4cdot2cdot4=81-32=49, dando
x = 9pm74 Longrightarrow x=tfrac12;ou;x=4
Como a parábola abre para cima, temos 2x^2-9x+4>0 para x<tfrac12 ou x>4.

Passo 3

Aplicamos a definição de logaritmo com base tfrac13:
log1/3l(2x^2-9x+4r) = -2 Longrightarrow 2x^2-9x+4 = l(tfrac13r)^-2 = 3^2 = 9

Passo 4

Substituímos na expressão quadrática:
2x^2-9x+4 = 9 Longrightarrow 2x^2-9x-5 = 0
Resolvendo pela fórmula de Bhaskara,
x = 9pmraiz81 + 404 = 9pm114,
que dá as raízes
x1 = 9+114 = 5, x2 = 9-114 = -tfrac12

Passo 5

Verificamos se cada raiz respeita o domínio x<tfrac12 ou x>4:
-tfrac12 < tfrac12 e 5>4, então ambas são válidas.

Resposta

As soluções da equação são
x = 5 e x = -tfrac12

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