Resolva as seguintes inequações:
2 x+1x+1>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
2x+1x+1>0
Isso é uma inequação racional. Para resolver, precisamos encontrar o domínio da expressão, depois determinar as raízes do numerador e do denominador, e por fim fazer um estudo de sinais em cada intervalo obtido.

Passo 2

Determinamos o domínio de 2x+1x+1. A única restrição vem de
x+1neq0Longrightarrow xneq-1
Em seguida, achamos os pontos onde o numerador e o denominador se anulam:
2x+1=0Longrightarrow x=-tfrac12,
x+1=0Longrightarrow x=-1

Passo 3

Fazemos a análise de sinais nos intervalos (-infty,-1), (-1,-tfrac12) e (-tfrac12,infty). Tomamos pontos de teste:
  • Em x=-2 (intervalo (-infty,-1)):
    numerador 2cdot(-2)+1=-3<0,
    denominador -2+1=-1<0,
    portanto 2x+1x+1>0 (positivo).
  • Em x=-0,75 (intervalo (-1,-tfrac12)):
    numerador 2cdot(-0,75)+1=-0,5<0,
    denominador -0,75+1=0,25>0,
    portanto 2x+1x+1<0 (negativo).
  • Em x=0 (intervalo (-tfrac12,infty)):
    numerador 2cdot0+1=1>0,
    denominador 0+1=1>0,
    portanto 2x+1x+1>0 (positivo).

Passo 4

Queremos 2x+1x+1>0, então escolhemos os intervalos onde a fração é positiva. Não incluímos x=-1 (fora do domínio) nem x=-tfrac12 (anula o numerador, torna a expressão zero). Logo, a solução é
(-infty,-1)cupl(-tfrac12,inftyr)

Resposta

(-infty,-1)cupl(-tfrac12,inftyr)

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