Resolva as seguintes equações em \mathbb{C} :
z^{2}-(-5-12 i)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{C} a equação
z^{2}-(-5-12i)=0,
ou seja
z^{2}=-5-12i.
O conteúdo aqui é achar as raízes quadradas de um número complexo. Vamos representar z na forma x+yi e igualar partes real e imaginária.

Passo 2

Colocando
z = x + yi,
temos
z^{2} = (x+yi)^{2} = x^{2}-y^{2} + 2xy\,i.
Como isso deve ser igual a -5 -12i, igualamos as partes real e imaginária.

Passo 3

Igualando a parte real e a parte imaginária obtemos o sistema
x^{2}-y^{2} = -5
2xy = -12.

Passo 4

Da segunda equação segue
xy = -6 \quad\Longrightarrow\quad y = -\frac{6}{x}.
Substituindo em x^{2}-y^{2}=-5:
x^{2} - \Bigl(-\frac{6}{x}\Bigr)^{2} = -5 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} - \frac{36}{x^{2}} = -5.
Multiplicando tudo por x^{2} (note que x\neq0 pois xy=-6 não é zero):
x^{4} +5x^{2} -36 = 0.

Passo 5

Seja t = x^{2}. A equação vira
t^{2} +5t -36 = 0.
Resolvendo-a:
t = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2} = \frac{-5 \pm 13}{2} \quad\Longrightarrow\quad t_{1}=4,\;t_{2}=-9.
Como t = x^{2}\ge0, rejeitamos -9 e ficamos com x^{2}=4, daí
x = \pm 2.

Passo 6

Para x=2, y=-\tfrac{6}{2}=-3, o que dá
z_{1} = 2 - 3i.
Para x=-2, y=-\tfrac{6}{-2}=3, o que dá
z_{2} = -2 + 3i.

Resposta

As soluções da equação são
z = 2 - 3i \quad\text{e}\quad z = -2 + 3i.

Exercícios relacionados