Resolva as seguintes equações em \mathbb{C} :
z^{2}-(3+4 i)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{C} a equação
z^{2} - (3+4i) = 0.
Isso equivale a encontrar as raízes quadradas de 3+4i. Para isso, vamos escrever z na forma a+bi e igualar partes real e imaginária.

Passo 2

Colocando z = a + bi, temos
(a + bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi
e a equação vira
a^2 - b^2 + 2abi = 3 + 4i.
Igualando parte real e parte imaginária, obtemos o sistema
a^2 - b^2 = 3,
2ab = 4.

Passo 3

Da segunda equação 2ab = 4 vem
ab = 2 \quad\Longrightarrow\quad b = \frac{2}{a},
desde que a\neq 0. Substituindo em a^2 - b^2 = 3:
a^2 - \Bigl(\frac{2}{a}\Bigr)^2 = 3 \quad\Longrightarrow\quad a^2 - \frac{4}{a^2} = 3.
Multiplicando por a^2,
a^4 - 3a^2 - 4 = 0.
Fazendo X = a^2, fica
X^2 - 3X - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (X-4)(X+1)=0,
portanto X = 4 ou X=-1. Como a^2 não pode ser negativo, a^2=4.

Passo 4

Logo a = \pm 2. Para a=2, vem
b = \frac{2}{2} = 1,
e uma raiz é z = 2 + i.
Para a=-2, vem
b = \frac{2}{-2} = -1,
e a outra raiz é z = -2 - i.

Resposta

As soluções em \mathbb{C} são
z = 2 + i \quad\text{ou}\quad z = -2 - i.

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