Resolva as seguintes equações em \mathbb{C} :
z^{3}-i=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{C} a equação
z^{3} - i = 0.
O conteúdo principal aqui é encontrar raízes de números complexos usando a forma polar/exponencial e o Teorema de De Moivre.

Passo 2

Reescrevemos a equação como
z^{3} = i.
Em seguida, escrevemos i na forma exponencial:
i = e^{i\frac{\pi}{2}}
mas lembrando que podemos adicionar 2\pi k ao argumento sem mudar o número, temos
i = e^{i\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\right)},\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Pela fórmula das raízes n-ésimas, as soluções de z^{3}=i são
z = \exp\!\bigl(i\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi k}{3}\bigr) = \exp\!\bigl(i\bigl(\tfrac{\pi}{6} + \tfrac{2\pi k}{3}\bigr)\bigr), \quad k=0,1,2.

Passo 4

Convertendo para a forma trigonométrica, obtemos
z_{k} = \cos\!\Bigl(\tfrac{\pi}{6} + \tfrac{2\pi k}{3}\Bigr) + i\,\sin\!\Bigl(\tfrac{\pi}{6} + \tfrac{2\pi k}{3}\Bigr), \quad k=0,1,2.
Agora listamos cada solução escolhendo k=0,1,2:

Resposta

z_{0} = \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) + i\,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) = \tfrac{\sqrt{3}}{2} + \tfrac{i}{2}. z_{1} = \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{6} + \tfrac{2\pi}{3}\bigr) + i\,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{6} + \tfrac{2\pi}{3}\bigr) = \cos\!\bigl(\tfrac{5\pi}{6}\bigr) + i\,\sin\!\bigl(\tfrac{5\pi}{6}\bigr) = -\tfrac{\sqrt{3}}{2} + \tfrac{i}{2}. z_{2} = \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{6} + \tfrac{4\pi}{3}\bigr) + i\,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{6} + \tfrac{4\pi}{3}\bigr) = \cos\!\bigl(\tfrac{9\pi}{6}\bigr) + i\,\sin\!\bigl(\tfrac{9\pi}{6}\bigr) = 0 - i = -\,i.

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