Resolva as seguintes equações pelo método de coeficientes indeterminados:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Informações dadas:
- A equação é não-homogênea, com termo de força (lado direito) igual a
. - Foi pedido explicitamente usar o método dos coeficientes indeterminados (ou seja, procurar uma solução particular por tentativa com parâmetros a determinar).
Passo 2
Encontrar a solução geral da parte homogênea associada: primeiro resolvemos a equação homogênea
Para isso usamos a equação característica: supomos soluções do tipo
e obtemos
Resolvendo a quadrática:
logo as raízes são
e
. Isso significa que a solução complementar (solução geral da homogênea) é
onde
e
são constantes arbitrárias. Explicação rápida: cada raiz
da característica corresponde a um termo
na solução homogênea.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
da equação completa usando coeficientes indeterminados. Regra prática do método:
- Se o termo não-homogêneo é um polinômio de grau
, tenta-se uma solução particular que seja um polinômio de grau com coeficientes indeterminados.
Aqui o lado direito é um polinômio de grau 1,. Então tentamos
onde
e
são constantes a determinar. Observação sobre ressonância: como a solução homogênea é combinação de exponenciais
e
, e não contém polinômios, não há necessidade de multiplicar a tentativa por potências de
. Portanto a forma
é adequada.
Passo 4
Calcular as derivadas de
e substituir na equação para determinar
e
.
Derivadas:
Derivadas:
Substituindo em
obtemos
Organizando os termos do lado esquerdo:
Passo 5
Identificar coeficientes dos polinômios em
e igualá-los:
- Coeficiente de
: . - Termo constante:
. Substituindo :
Portanto a solução particular é
Passo 6
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução complementar com a particular:
onde
e
são constantes determinadas por condições iniciais (se fornecidas). Pequena verificação mental: os termos exponenciais satisfazem a homogênea (cancelam), e a parte polinomial dá exatamente
como vimos ao calcular.