Resolva as seguintes equações pelo método de coeficientes indeterminados:
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+3 y=6 x+23

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y' + 3y = 6x + 23.
Informações dadas:
  • A equação é não-homogênea, com termo de força (lado direito) igual a \,6x+23.
  • Foi pedido explicitamente usar o método dos coeficientes indeterminados (ou seja, procurar uma solução particular por tentativa com parâmetros a determinar).

Passo 2

Encontrar a solução geral da parte homogênea associada: primeiro resolvemos a equação homogênea
y'' + 4y' + 3y = 0.
Para isso usamos a equação característica: supomos soluções do tipo y=e^{rx} e obtemos
r^2 + 4r + 3 = 0.
Resolvendo a quadrática:
r^2 + 4r + 3 = (r+1)(r+3)=0,
logo as raízes são r=-1 e r=-3. Isso significa que a solução complementar (solução geral da homogênea) é
y_c = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-3x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Explicação rápida: cada raiz r da característica corresponde a um termo e^{rx} na solução homogênea.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p da equação completa usando coeficientes indeterminados. Regra prática do método:
  • Se o termo não-homogêneo é um polinômio de grau n, tenta-se uma solução particular que seja um polinômio de grau n com coeficientes indeterminados.
    Aqui o lado direito é um polinômio de grau 1, \,6x+23. Então tentamos
y_p = Ax + B,
onde A e B são constantes a determinar. Observação sobre ressonância: como a solução homogênea é combinação de exponenciais e^{-x} e e^{-3x}, e não contém polinômios, não há necessidade de multiplicar a tentativa por potências de x. Portanto a forma Ax+B é adequada.

Passo 4

Calcular as derivadas de y_p e substituir na equação para determinar A e B.
Derivadas:
y_p' = A,\qquad y_p'' = 0.
Substituindo em \,y''+4y'+3y obtemos
0 + 4A + 3(Ax + B) = 6x + 23.
Organizando os termos do lado esquerdo:
3A x + (4A + 3B) = 6x + 23.

Passo 5

Identificar coeficientes dos polinômios em x e igualá-los:
  • Coeficiente de x: \,3A = 6 \Rightarrow \,A = 2.
  • Termo constante: \,4A + 3B = 23. Substituindo A=2:
4\cdot 2 + 3B = 23 \quad\Rightarrow\quad 8 + 3B = 23 \quad\Rightarrow\quad 3B = 15 \quad\Rightarrow\quad B = 5.
Portanto a solução particular é
y_p = 2x + 5.

Passo 6

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução complementar com a particular:
y(x) = y_c + y_p = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-3x} + 2x + 5,
onde C_1 e C_2 são constantes determinadas por condições iniciais (se fornecidas). Pequena verificação mental: os termos exponenciais satisfazem a homogênea (cancelam), e a parte polinomial dá exatamente 6x+23 como vimos ao calcular.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{-3x}+2x+5

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