Resolva as seguintes equações pelo método de coeficientes indeterminados:
y^{\prime \prime}-y=\cos (2 x)-2 \operatorname{sen}(2 x)

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Pede resolver a equação diferencial ordinária linear de segunda ordem não homógenea:
y''-y=\cos(2x)-2\operatorname{sen}(2x).
  • Informação útil: o lado direito é combinação linear de funções trigonométricas \cos(2x) e \operatorname{sen}(2x).
  • Objetivo final: encontrar a solução geral y(x), que é soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não homogênea.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada e interpretar o que isso significa.
A equação homogênea é
y''-y=0.
Procuramos soluções do tipo y=e^{rx}. Substituindo,
r^2-1=0.
As raízes são r=1 e r=-1. Logo a solução geral da homogênea é
y_h=C_1 e^{x}+C_2 e^{-x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.
Explicação curta (didática): esse procedimento transforma a ODE homogênea em uma equação algébrica (a “equação característica”); as exponenciais aparecem porque derivada de e^{rx} multiplica por r.

Passo 3

Escolher o método para a parte particular e explicar por que.
O lado direito é combinação de \cos(2x) e \operatorname{sen}(2x). Pelo método de coeficientes indeterminados, para um forçamento da forma
P\cos(\omega x)+Q\operatorname{sen}(\omega x)
tentar uma solução particular da forma
y_p = a\cos(\omega x)+b\operatorname{sen}(\omega x),
onde a e b são coeficientes desconhecidos a determinar.
Observação importante (ressalva de ressonância): se \cos(\omega x) ou \operatorname{sen}(\omega x) fossem soluções da homogênea, teríamos que multiplicar o palpite por x. Aqui a homogênea tem e^{\pm x}, não trigonométricas com \omega=2, logo NÃO há ressonância; podemos usar diretamente y_p=a\cos(2x)+b\operatorname{sen}(2x).

Passo 4

Calcular as derivadas de y_p e aplicar o operador diferencial.
Tomando
y_p = a\cos(2x)+b\operatorname{sen}(2x),
as derivadas são:
y_p' = -2a\operatorname{sen}(2x)+2b\cos(2x),
y_p'' = -4a\cos(2x)-4b\operatorname{sen}(2x).
Agora aplicamos o operador L[y]=y''-y em y_p:
L[y_p]=y_p''-y_p = \bigl(-4a\cos(2x)-4b\operatorname{sen}(2x)\bigr)-\bigl(a\cos(2x)+b\operatorname{sen}(2x)\bigr).
Agrupando termos semelhantes,
L[y_p]=(-4a-a)\cos(2x)+(-4b-b)\operatorname{sen}(2x) = -5a\cos(2x)-5b\operatorname{sen}(2x).

Passo 5

Igualar L[y_p] ao lado direito e montar o sistema para a e b.
Queremos L[y_p] igual à função forçante \cos(2x)-2\operatorname{sen}(2x). Assim
-5a\cos(2x)-5b\operatorname{sen}(2x)=\cos(2x)-2\operatorname{sen}(2x).
Igualando coeficientes de \cos(2x) e \operatorname{sen}(2x) obtemos o sistema linear:
-5a=1,
-5b=-2.
Explicação: como \cos(2x) e \operatorname{sen}(2x) são linearmente independentes, seus coeficientes devem coincidir separadamente.

Passo 6

Resolver o sistema e obter a solução particular.
Das equações anteriores:
a=-\dfrac{1}{5}, \qquad b=\dfrac{2}{5}.
Então a solução particular é
y_p = -\dfrac{1}{5}\cos(2x)+\dfrac{2}{5}\operatorname{sen}(2x).

Passo 7

Construir a solução geral e comentar como usar na prova.
A solução geral da equação não homogênea é soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_h+y_p=C_1 e^{x}+C_2 e^{-x}-\dfrac{1}{5}\cos(2x)+\dfrac{2}{5}\operatorname{sen}(2x).
Dica prática para prova: sempre primeiro resolva a homogênea por equação característica; depois escolha um palpite para y_p baseado na forma do lado direito, lembrando de verificar ressonância (multiplicar por x se necessário). Substitua, iguale coeficientes e resolva o sistema para as constantes indeterminadas.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}-\dfrac{1}{5}\cos(2x)+\dfrac{2}{5}\operatorname{sen}(2x)

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