Resolva as seguintes equações pelo método de coeficientes indeterminados:
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos.
- Pede resolver a equação diferencial ordinária linear de segunda ordem não homógenea:
- Informação útil: o lado direito é combinação linear de funções trigonométricas
e . - Objetivo final: encontrar a solução geral
, que é soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não homogênea.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada e interpretar o que isso significa.
A equação homogênea é
Procuramos soluções do tipo
. Substituindo,
As raízes são
e
. Logo a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Explicação curta (didática): esse procedimento transforma a ODE homogênea em uma equação algébrica (a “equação característica”); as exponenciais aparecem porque derivada de
multiplica por
.
Passo 3
Escolher o método para a parte particular e explicar por que.
O lado direito é combinação de
e
. Pelo método de coeficientes indeterminados, para um forçamento da forma
tentar uma solução particular da forma
onde
e
são coeficientes desconhecidos a determinar.
Observação importante (ressalva de ressonância): se
ou
fossem soluções da homogênea, teríamos que multiplicar o palpite por
. Aqui a homogênea tem
, não trigonométricas com
, logo NÃO há ressonância; podemos usar diretamente
.
Passo 4
Calcular as derivadas de
e aplicar o operador diferencial.
Tomando
as derivadas são:
Agora aplicamos o operador
em
:
Agrupando termos semelhantes,
Passo 5
Igualar
ao lado direito e montar o sistema para
e
.
Queremos
igual à função forçante
. Assim
Igualando coeficientes de
e
obtemos o sistema linear:
Explicação: como
e
são linearmente independentes, seus coeficientes devem coincidir separadamente.
Passo 6
Resolver o sistema e obter a solução particular.
Das equações anteriores:
Então a solução particular é
Passo 7
Construir a solução geral e comentar como usar na prova.
A solução geral da equação não homogênea é soma da homogênea com a particular:
Dica prática para prova: sempre primeiro resolva a homogênea por equação característica; depois escolha um palpite para
baseado na forma do lado direito, lembrando de verificar ressonância (multiplicar por
se necessário). Substitua, iguale coeficientes e resolva o sistema para as constantes indeterminadas.