Resolva as seguintes equações pelo método de coeficientes indeterminados:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com condições iniciais e pede a sua solução pelo método de coeficientes indeterminados. As informações são:
- Equação:
- Condições iniciais:
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada (essa é a parte “base” da solução). A equação homogênea é
Para resolver uma equação homogênea linear com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma
. Substituindo na equação homogênea obtemos a equação característica
Resolvendo essa quadrática:
com multiplicidade
.
Passo 3
Quando a equação característica tem uma raiz real
de multiplicidade
, as soluções independentes da homogênea são
e
. Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora aplicamos o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular
da equação completa
Regras práticas: o lado direito é um polinômio de grau
(ou seja,
). Quando o termo não homogêneo é um polinômio de grau
, tentamos uma solução particular polinomial de grau
. Também é preciso verificar ressonância: multiplicar por potências de
caso
com
apareça como raiz da característica. Aqui o termo forçado é
, que é
vezes um polinômio; o valor
não é raiz da equação característica (a raiz é
), logo não há ressonância. Assim tentamos
com
e
constantes a determinar.
Passo 5
Calculemos as derivadas de
:
Substituindo em
obtemos:
Esse resultado deve ser igual a
para todo
. Igualando coeficientes do polinômio (método padrão para polinômios):
- Coeficiente de
: - Termo constante:
Passo 6
Da equação anterior, com
, obtemos
Logo a solução particular é
Passo 7
A solução geral da equação (somando homogênea e particular) é
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
Passo 8
Primeira condição:
. Avaliando
:
Como
, segue
, portanto
Passo 9
Segunda condição:
. Precisamos da derivada geral. Derivando
usando a regra do produto:
Somando a derivada de
, que é
, obtemos
Agora avaliando em
e usando
:
Como
, segue
, portanto
Passo 10
Com
e
, a solução encontrada satisfaz as condições iniciais. (Opcional: pode-se verificar substituindo na equação original que o lado esquerdo volta a ser
, o que confirma a solução.)