Resolva as seguintes equações pelo método de coeficientes indeterminados:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=x, \operatorname{com} y(0)=y^{\prime}(0)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com condições iniciais e pede a sua solução pelo método de coeficientes indeterminados. As informações são:
  • Equação: y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+y = x.
  • Condições iniciais: y(0)=2,\qquad y^{\prime}(0)=2.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada (essa é a parte “base” da solução). A equação homogênea é
y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+y = 0.
Para resolver uma equação homogênea linear com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo na equação homogênea obtemos a equação característica
r^{2}-2r+1=0.
Resolvendo essa quadrática:
r^{2}-2r+1=(r-1)^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad r=1
com multiplicidade 2.

Passo 3

Quando a equação característica tem uma raiz real r de multiplicidade 2, as soluções independentes da homogênea são e^{rx} e x e^{rx}. Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(x) = \big(C_1 + C_2 x\big)e^{x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora aplicamos o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular y_p da equação completa y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+y = x.
Regras práticas: o lado direito é um polinômio de grau 1 (ou seja, x). Quando o termo não homogêneo é um polinômio de grau n, tentamos uma solução particular polinomial de grau n. Também é preciso verificar ressonância: multiplicar por potências de x caso e^{\alpha x} com \alpha apareça como raiz da característica. Aqui o termo forçado é x, que é e^{0\cdot x} vezes um polinômio; o valor \alpha=0 não é raiz da equação característica (a raiz é 1), logo não há ressonância. Assim tentamos
y_p(x) = A x + B,
com A e B constantes a determinar.

Passo 5

Calculemos as derivadas de y_p:
y_p'(x) = A,\qquad y_p''(x)=0.
Substituindo em y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+y = x obtemos:
0 - 2A + (A x + B) = A x + (B - 2A).
Esse resultado deve ser igual a x para todo x. Igualando coeficientes do polinômio (método padrão para polinômios):
  • Coeficiente de x: A = 1.
  • Termo constante: B - 2A = 0.

Passo 6

Da equação anterior, com A=1, obtemos
B - 2\cdot 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad B = 2.
Logo a solução particular é
y_p(x) = x + 2.

Passo 7

A solução geral da equação (somando homogênea e particular) é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = \big(C_1 + C_2 x\big)e^{x} + x + 2.
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.

Passo 8

Primeira condição: y(0)=2. Avaliando y(0):
y(0) = \big(C_1 + C_2\cdot 0\big)e^{0} + 0 + 2 = C_1 + 2.
Como y(0)=2, segue C_1 + 2 = 2, portanto
C_1 = 0.

Passo 9

Segunda condição: y^{\prime}(0)=2. Precisamos da derivada geral. Derivando
y(x) = \big(C_1 + C_2 x\big)e^{x} + x + 2,
usando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big[(C_1 + C_2 x)e^{x}\big] = C_2 e^{x} + (C_1 + C_2 x)e^{x} = \big(C_1 + C_2 + C_2 x\big)e^{x}.
Somando a derivada de x+2, que é 1, obtemos
y'(x) = \big(C_1 + C_2 + C_2 x\big)e^{x} + 1.
Agora avaliando em x=0 e usando C_1=0:
y'(0) = (0 + C_2 + 0)\cdot 1 + 1 = C_2 + 1.
Como y'(0)=2, segue C_2 + 1 = 2, portanto
C_2 = 1.

Passo 10

Com C_1=0 e C_2=1, a solução encontrada satisfaz as condições iniciais. (Opcional: pode-se verificar substituindo na equação original que o lado esquerdo volta a ser x, o que confirma a solução.)

Resposta

y(x) = x e^{x} + x + 2

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