Resolva as seguintes equações pelo método de coeficientes indeterminados:
Passo 1
O enunciado nos dá a seguinte equação diferencial e pede sua solução pelo método de coeficientes indeterminados:
Informações relevantes:
- A equação é de segunda ordem e não-homogênea (tem um termo em
do lado direito). - Deve-se encontrar a solução geral
(ou seja, a combinação da solução homogênea com uma solução particular). - O método indicado é o método de coeficientes indeterminados.
Passo 2
Estratégia geral (apenas a estratégia, sem resolver ainda): a solução geral de uma equação linear de segunda ordem com termo forçante é a soma
onde
é a solução da equação homogênea associada e
é uma solução particular da equação não-homogênea. Pelo método de coeficientes indeterminados escolhemos um palpite para
com parâmetros desconhecidos (coeficientes indeterminados), derivamos, substituímos na equação e determinamos esses coeficientes comparando termos.
Passo 3
Encontrar a solução homogênea
: resolve-se a equação associada sem o termo forçante. A equação homogênea é
Integramos duas vezes:
onde
e
são constantes arbitrárias. Portanto
Passo 4
Escolha do palpite para a solução particular
pelo método de coeficientes indeterminados: o termo forçante é
, que é uma combinação de funções trigonométricas
e
. Um palpite natural é
onde
e
são coeficientes indeterminados. Observação importante: esse palpite não entra em conflito com a solução homogênea
(não há ressonância), então não precisamos multiplicar por
.
Passo 5
Calcular
e determinar
. Primeiro calculemos as derivadas:
Substituindo na equação dada
, obtemos
Dividindo ambos os lados por
,
Como
e
são linearmente independentes, igualamos coeficientes:
Portanto
Passo 6
Formar a solução geral somando homogênea e particular:
Verificação rápida: ao derivar duas vezes, as partes
desaparecem e
gera
, portanto está consistente.