Resolva as seguintes equações pelo método de coeficientes indeterminados:
y^{\prime \prime}=-9 \operatorname{sen}(3 x)

Passo 1

O enunciado nos dá a seguinte equação diferencial e pede sua solução pelo método de coeficientes indeterminados:
y'' = -9\sin(3x).
Informações relevantes:
  • A equação é de segunda ordem e não-homogênea (tem um termo em \sin(3x) do lado direito).
  • Deve-se encontrar a solução geral y(x) (ou seja, a combinação da solução homogênea com uma solução particular).
  • O método indicado é o método de coeficientes indeterminados.

Passo 2

Estratégia geral (apenas a estratégia, sem resolver ainda): a solução geral de uma equação linear de segunda ordem com termo forçante é a soma
y(x)=y_h(x)+y_p(x),
onde y_h é a solução da equação homogênea associada e y_p é uma solução particular da equação não-homogênea. Pelo método de coeficientes indeterminados escolhemos um palpite para y_p com parâmetros desconhecidos (coeficientes indeterminados), derivamos, substituímos na equação e determinamos esses coeficientes comparando termos.

Passo 3

Encontrar a solução homogênea y_h: resolve-se a equação associada sem o termo forçante. A equação homogênea é
y''=0.
Integramos duas vezes:
y' = C_1, \qquad y = C_1 x + C_2,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Portanto
y_h(x)=C_1 x + C_2.

Passo 4

Escolha do palpite para a solução particular y_p pelo método de coeficientes indeterminados: o termo forçante é -9\sin(3x), que é uma combinação de funções trigonométricas \sin(3x) e \cos(3x). Um palpite natural é
y_p(x)=A\cos(3x)+B\sin(3x),
onde A e B são coeficientes indeterminados. Observação importante: esse palpite não entra em conflito com a solução homogênea C_1 x + C_2 (não há ressonância), então não precisamos multiplicar por x.

Passo 5

Calcular y_p'' e determinar A,B. Primeiro calculemos as derivadas:
y_p'(x) = -3A\sin(3x)+3B\cos(3x),
y_p''(x) = -9A\cos(3x)-9B\sin(3x).
Substituindo na equação dada y''=-9\sin(3x), obtemos
-9A\cos(3x)-9B\sin(3x) = -9\sin(3x).
Dividindo ambos os lados por -9,
A\cos(3x)+B\sin(3x)=\sin(3x).
Como \cos(3x) e \sin(3x) são linearmente independentes, igualamos coeficientes:
A=0,\qquad B=1.
Portanto
y_p(x)=0\cdot\cos(3x)+1\cdot\sin(3x)=\sin(3x).

Passo 6

Formar a solução geral somando homogênea e particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1 x + C_2 + \sin(3x).
Verificação rápida: ao derivar duas vezes, as partes C_1 x + C_2 desaparecem e \sin(3x) gera y''=-9\sin(3x), portanto está consistente.

Resposta

y(x)=C_1 x + C_2 + \sin(3x)

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