Resolva as seguintes equações de ordem superior:
(d) y^prime prime prime-y=0

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' - y = 0
Para isso, vamos associar um polinômio característico, encontrar suas raízes e montar a solução geral a partir delas.

Passo 2

Supondo uma solução da forma y=e^rx, substituímos no ODE e obtém-se o polinômio característico
r^3 - 1 = 0

Passo 3

Resolvendo
r^3 - 1 = (r - 1)(r^2 + r + 1) = 0
temos as raízes
r1 = 1, r2,3 = -1 pm iraiz32

Passo 4

Como as três raízes são distintas, a solução geral em termos de exponenciais complexas é
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x + C3 e^r3 x,
isto é,
y(x) = C1 e^x + C2 e^l(-12 + iraiz32r)x + C3 e^l(-12 - iraiz32r)x

Passo 5

Para obter uma forma real, note que as raízes r2,3 são conjugadas. Combinando-as, escrevemos
y(x) = C1 e^x + e^-x2l(Acosl(tfracraiz32xr) + Bsinl(tfracraiz32xr)r),
onde A e B são constantes reais equivalentes a combinações lineares de C2 e C3.

Resposta

y(x) = C1 e^x + C2 e^-x2cos!l(tfracraiz32xr) + C3 e^-x2sin!l(tfracraiz32xr),
com C1,C2,C3inR.

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