Resolva as seguintes equações de ordem superior:
(c) y^(4)-2 y^prime prime prime+2 y^prime-y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de quarta ordem com coeficientes constantes
y^(4) - 2,y''' + 2,y' - y = 0
Isso cai no conteúdo de EDOs lineares com coeficientes constantes. A ideia é propor a solução y=e^r x e obter a equação característica.

Passo 2

Substituindo y=e^r x na EDO, temos
r^4 e^r x - 2r^3 e^r x + 2r e^r x - e^r x = 0
Como e^r xneq0, a equação característica é
r^4 - 2r^3 + 0cdot r^2 + 2r - 1 = 0

Passo 3

Testamos r=1 na característica:
1^4 - 2cdot1^3 + 2cdot1 - 1 = 1 - 2 + 2 - 1 = 0,
logo r=1 é raiz.

Passo 4

Dividindo r^4 - 2r^3 + 2r -1 por (r-1) por divisão sintética, obtemos o quociente
r^3 - r^2 - r + 1
Fatorando por agrupamento:
r^3 - r^2 - r +1 = (r^2)(r-1) -1(r-1) = (r-1)(r^2 - 1) = (r-1)(r-1)(r+1)
Logo a característica completa é
(r-1)^3 (r+1) = 0

Passo 5

As raízes são
r1 = 1(mu<iplicidade 3), r2 = -1(mu<iplicidade 1)
Para cada raiz repetida de ordem m usamos as soluções e^r x, x e^r x, dots, x^m-1e^r x. Assim, a solução geral é
y(x) = l(C1 + C2 x + C3 x^2r)e^x ;+; C4 e^-x,
onde C1,C2,C3,C4 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = l(C1 + C2 x + C3 x^2r)e^x + C4 e^-x

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