Responda Verdadeiro (V) ou Falso (F) nos itens abaixo, justificando suas respostas.
(0,5) lim x 0^+[cos (1x)]=1.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar o seguinte limite e verificar se ele é igual a 1:
limxto0^+cos!l(tfrac1xr)
Esse é um problema de limites envolvendo uma função trigonométrica que oscila cada vez mais rápido à medida que x se aproxima de zero.

Passo 2

Note que, quando xto0^+, o argumento tfrac1x cresce sem limite, fazendo com que cos!l(tfrac1xr) oscile entre -1 e 1 infinitas vezes. Para ver isso de forma rigorosa, podemos escolher duas sequências xn e yn que vão a zero e forçam o cosseno a tender a valores diferentes:
  • Tome xn = tfrac12pi n. Então 1xn = 2pi n Longrightarrow cos!l(tfrac1xnr) = cos(2pi n) = 1
  • Tome yn = tfrac1(2n+1)pi. Então 1yn = (2n+1)pi Longrightarrow cos!l(tfrac1ynr) = cosl((2n+1)pir) = -1
Como em torno de 0 a função assume sucessivamente valores próximos de 1 e de -1, não há um único valor para qual cos!l(tfrac1xr) convirja.

Passo 3

Como encontramos aproximações que levam a limites diferentes ( +1 e -1), o limite
limxto0^+cos!l(tfrac1xr)
não existe. Em particular, não é igual a 1.

Resposta

F

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