Resolva as seguintes equações de ordem superior:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas:
- É uma equação linear homogênea com derivadas de ordem até 4.
- Não foram dadas condições iniciais; portanto vamos obter a solução geral com constantes arbitrárias.
- A incógnita é a função
.
Passo 2
Vamos transformar a equação diferencial em um polinômio característico, que é o passo padrão para resolver equações lineares com coeficientes constantes. Substituímos
(uma tentativa clássica) e obtemos o polinômio
Explicando isso: se
então
,
, etc. Substituindo na equação e dividindo por
(não nulo) sobra o polinômio acima.
Passo 3
Observe que o polinômio é quadrático em
. Para facilitar, faça a mudança
. Assim obtemos
Esse polinômio é um quadrado perfeito:
logo
com multiplicidade
. Voltando a
, temos
Como
tem multiplicidade
, cada uma das raízes
e
tem multiplicidade
.
Passo 4
Agora preciso explicar como transformar essas raízes complexas (e repetidas) em soluções reais. Regras importantes (explicadas passo a passo):
- Se uma raiz real
do polinômio característico tem multiplicidade , então as soluções associadas são . - Se há uma conjugada complexa
(com ) com multiplicidade , então as soluções reais associadas são
Aqui
é a parte real e
a parte imaginária da raiz complexa. Cada par
e
gera duas soluções reais por nível de multiplicidade.
No nosso caso
,
e
. Portanto as soluções reais geradas por
com multiplicidade
são:
Passo 5
Para consolidar a intuição, é bom verificar rapidamente que essas funções realmente satisfazem a equação. Uma forma elegante é fatorar o operador diferencial:
onde
. Assim nossa equação é
- Se
satisfaz , então . As funções e satisfazem (pois sua segunda derivada é ), logo são soluções da equação original. - Para
podemos calcular . Calculando derivadas: Então Aplicando novamente a dá zero, porque . Assim , logo é solução. O mesmo raciocínio vale para .
Essa verificação mostra que as quatro funções são soluções da equação.
Passo 6
As quatro soluções encontradas são linearmente independentes (isso vem da teoria das EDOs lineares com raízes distintas/repetidas; informalmente,
e
são independentes, e multiplicá-las por
gera funções não combináveis linearmente pelas anteriores), portanto formam uma base do espaço de soluções e a solução geral é a combinação linear dessas quatro soluções.
Passo 7
Escrevendo a solução geral com constantes arbitrárias
, temos: