Resolva as seguintes equações de ordem superior:
y^{(4)}+2 y^{\prime \prime}+y=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
y^{(4)}+2y^{\prime\prime}+y=0.
Informações dadas:
  • É uma equação linear homogênea com derivadas de ordem até 4.
  • Não foram dadas condições iniciais; portanto vamos obter a solução geral com constantes arbitrárias.
  • A incógnita é a função y(x).

Passo 2

Vamos transformar a equação diferencial em um polinômio característico, que é o passo padrão para resolver equações lineares com coeficientes constantes. Substituímos y=e^{rx} (uma tentativa clássica) e obtemos o polinômio
r^{4}+2r^{2}+1=0.
Explicando isso: se y=e^{rx} então y^{\prime}=r e^{rx}, y^{\prime\prime}=r^{2}e^{rx}, etc. Substituindo na equação e dividindo por e^{rx} (não nulo) sobra o polinômio acima.

Passo 3

Observe que o polinômio é quadrático em r^{2}. Para facilitar, faça a mudança s=r^{2}. Assim obtemos
s^{2}+2s+1=0.
Esse polinômio é um quadrado perfeito:
(s+1)^{2}=0,
logo
s=-1
com multiplicidade 2. Voltando a r, temos
r^{2}=-1 \quad\Rightarrow\quad r=\pm i.
Como s=-1 tem multiplicidade 2, cada uma das raízes r=i e r=-i tem multiplicidade 2.

Passo 4

Agora preciso explicar como transformar essas raízes complexas (e repetidas) em soluções reais. Regras importantes (explicadas passo a passo):
  • Se uma raiz real r do polinômio característico tem multiplicidade m, então as soluções associadas são e^{rx},\; x e^{rx},\; x^{2}e^{rx},\dots,x^{m-1}e^{rx}.
  • Se há uma conjugada complexa a\pm bi (com b\neq0) com multiplicidade m, então as soluções reais associadas são e^{ax}\big(\cos(bx),\\ \sin(bx)\big),\quad x e^{ax}\big(\cos(bx),\\ \sin(bx)\big),\\ \dots,\\ x^{m-1} e^{ax}\big(\cos(bx),\\ \sin(bx)\big).
Aqui a é a parte real e b a parte imaginária da raiz complexa. Cada par \cos e \sin gera duas soluções reais por nível de multiplicidade.
No nosso caso a=0, b=1 e m=2. Portanto as soluções reais geradas por r=\pm i com multiplicidade 2 são:
\cos x,\quad \sin x,\quad x\cos x,\quad x\sin x.

Passo 5

Para consolidar a intuição, é bom verificar rapidamente que essas funções realmente satisfazem a equação. Uma forma elegante é fatorar o operador diferencial:
\text{o operador} = D^{4}+2D^{2}+1=(D^{2}+1)^{2},
onde D=\dfrac{d}{dx}. Assim nossa equação é
(D^{2}+1)^{2}y=0.
  • Se u satisfaz (D^{2}+1)u=0, então (D^{2}+1)^{2}u=0. As funções \cos x e \sin x satisfazem (D^{2}+1)u=0 (pois sua segunda derivada é -u), logo são soluções da equação original.
  • Para y=x\cos x podemos calcular (D^{2}+1)(x\cos x). Calculando derivadas: y=x\cos x,\quad y^{\prime}=\cos x - x\sin x,\quad y^{\prime\prime}=-2\sin x - x\cos x.Então (D^{2}+1)(x\cos x)=y^{\prime\prime}+y=(-2\sin x - x\cos x)+x\cos x=-2\sin x.Aplicando novamente (D^{2}+1) a -2\sin x dá zero, porque (D^{2}+1)\sin x=0. Assim (D^{2}+1)^{2}(x\cos x)=0, logo x\cos x é solução. O mesmo raciocínio vale para x\sin x.
    Essa verificação mostra que as quatro funções são soluções da equação.

Passo 6

As quatro soluções encontradas são linearmente independentes (isso vem da teoria das EDOs lineares com raízes distintas/repetidas; informalmente, \cos x e \sin x são independentes, e multiplicá-las por x gera funções não combináveis linearmente pelas anteriores), portanto formam uma base do espaço de soluções e a solução geral é a combinação linear dessas quatro soluções.

Passo 7

Escrevendo a solução geral com constantes arbitrárias C_{1},C_{2},C_{3},C_{4}, temos:
y(x)=(C_{1}+C_{2}x)\cos x+(C_{3}+C_{4}x)\sin x.

Resposta

y(x)=(C_{1}+C_{2}x)\cos x+(C_{3}+C_{4}x)\sin x

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