Resolva as seguintes equações de ordem superior:
y^{(4)}+16 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de ordem superior
y^{(4)} + 16\,y = 0.
Informações dadas:
\text{equação homogênea de 4ª ordem com coeficientes constantes.}çãêª
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) (ou seja, a família de todas as soluções).

Passo 2

Estratégia (explicação do método que vou aplicar, passo a passo):
  1. Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes nós tentamos soluções da forma y=e^{r x}. Por que isso? Porque se y=e^{r x} então derivadas sucessivas simplesmente multiplicam por r: y' = r e^{r x}, y'' = r^2 e^{r x}, etc. Assim a equação diferencial vira uma equação algébrica (o polinômio característico) que determina os possíveis valores de r.
  2. Substituindo y=e^{r x} em \;y^{(4)}+16y=0\; obtemos o polinômio característico. Vou resolver esse polinômio e encontrar as raízes r.
  3. Se as raízes forem complexas em pares conjugados r=\alpha\pm i\beta, as soluções reais correspondentes são e^{\alpha x}\cos(\beta x) e e^{\alpha x}\sin(\beta x). Vou usar isso para escrever a solução geral real.

Passo 3

Formação e solução do polinômio característico.
Assumimos y=e^{r x}. Substituindo:
r^4 e^{r x} + 16 e^{r x} = 0.
Como e^{r x}\neq 0, obtemos o polinômio característico
r^4 + 16 = 0.
Isso é equivalente a
r^4 = -16.
Vamos escrever -16 em forma polar: -16 = 16 e^{i\pi} (poderíamos usar 16 e^{i(\pi+2k\pi)} para as diferentes ramificações). As raízes quartas são
r = 16^{1/4} e^{i(\pi+2k\pi)/4} = 2\,e^{i(\pi/4 + k\pi/2)},\qquad k=0,1,2,3.
Agora calculamos cada uma:
  • Para k=0: r = 2 e^{i\pi/4} = 2\big(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\big) = 2\big(\tfrac{\sqrt{2}}{2} + i\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big) = \sqrt{2} + i\sqrt{2}.
  • Para k=1: r = 2 e^{i3\pi/4} = -\sqrt{2} + i\sqrt{2}.
  • Para k=2: r = 2 e^{i5\pi/4} = -\sqrt{2} - i\sqrt{2}.
  • Para k=3: r = 2 e^{i7\pi/4} = \sqrt{2} - i\sqrt{2}.
Portanto as quatro raízes são
r_1=\sqrt{2}+i\sqrt{2},\quad r_2=\sqrt{2}-i\sqrt{2},\quad r_3=-\sqrt{2}+i\sqrt{2},\quad r_4=-\sqrt{2}-i\sqrt{2}.

Passo 4

Construção das soluções reais a partir das raízes complexas.
Quando temos um par de raízes complexas conjugadas r=\alpha\pm i\beta, as duas soluções reais independentes associadas são
e^{\alpha x}\cos(\beta x)\quad\text{e}\quad e^{\alpha x}\sin(\beta x).
Aplicando isso aos pares obtidos:
  • Para r_{1,2}=\sqrt{2}\pm i\sqrt{2} temos \alpha=\sqrt{2} e \beta=\sqrt{2}. Logo duas soluções independentes são
e^{\sqrt{2}x}\cos(\sqrt{2}x),\qquad e^{\sqrt{2}x}\sin(\sqrt{2}x).
  • Para r_{3,4}=-\sqrt{2}\pm i\sqrt{2} temos \alpha=-\sqrt{2} e \beta=\sqrt{2}. Logo duas soluções independentes são
e^{-\sqrt{2}x}\cos(\sqrt{2}x),\qquad e^{-\sqrt{2}x}\sin(\sqrt{2}x).
Essas quatro funções são linearmente independentes e formam uma base de soluções da equação de quarta ordem.

Passo 5

Escrevendo a solução geral.
A solução geral da equação diferencial é combinação linear das quatro soluções independentes encontradas. Assim
y(x)=C_1 e^{\sqrt{2}x}\cos(\sqrt{2}x) + C_2 e^{\sqrt{2}x}\sin(\sqrt{2}x) + C_3 e^{-\sqrt{2}x}\cos(\sqrt{2}x) + C_4 e^{-\sqrt{2}x}\sin(\sqrt{2}x),
onde C_1,C_2,C_3,C_4 são constantes arbitrárias (fixadas por condições iniciais, se existirem).

Resposta

y(x)=C_1 e^{\sqrt{2}x}\cos(\sqrt{2}x) + C_2 e^{\sqrt{2}x}\sin(\sqrt{2}x) + C_3 e^{-\sqrt{2}x}\cos(\sqrt{2}x) + C_4 e^{-\sqrt{2}x}\sin(\sqrt{2}x)

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