Resolva as seguintes equações de ordem superior:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de ordem superior
Informações dadas:
O que se pede: encontrar a solução geral
(ou seja, a família de todas as soluções).
Passo 2
Estratégia (explicação do método que vou aplicar, passo a passo):
- Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes nós tentamos soluções da forma
. Por que isso? Porque se então derivadas sucessivas simplesmente multiplicam por : , , etc. Assim a equação diferencial vira uma equação algébrica (o polinômio característico) que determina os possíveis valores de . - Substituindo
em obtemos o polinômio característico. Vou resolver esse polinômio e encontrar as raízes . - Se as raízes forem complexas em pares conjugados
, as soluções reais correspondentes são e . Vou usar isso para escrever a solução geral real.
Passo 3
Formação e solução do polinômio característico.
Assumimos
. Substituindo:
Como
, obtemos o polinômio característico
Isso é equivalente a
Vamos escrever
em forma polar:
(poderíamos usar
para as diferentes ramificações). As raízes quartas são
Agora calculamos cada uma:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Portanto as quatro raízes são
Passo 4
Construção das soluções reais a partir das raízes complexas.
Quando temos um par de raízes complexas conjugadas
, as duas soluções reais independentes associadas são
Aplicando isso aos pares obtidos:
- Para
temos e . Logo duas soluções independentes são
- Para
temos e . Logo duas soluções independentes são
Essas quatro funções são linearmente independentes e formam uma base de soluções da equação de quarta ordem.
Passo 5
Escrevendo a solução geral.
A solução geral da equação diferencial é combinação linear das quatro soluções independentes encontradas. Assim
onde
são constantes arbitrárias (fixadas por condições iniciais, se existirem).