Resolva as seguintes equações:
raiz2 x-raiz7+x=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação com radicais
raiz2x-raiz7+x=1
O conteúdo usado aqui é a resolução de equações irracionais: vamos isolar um radical, elevar ao quadrado, cuidar das restrições de domínio e verificar raízes extranhas no final.

Passo 2

Determinamos o domínio garantido pelos radicais:
raiz2x exige 2x>=0Rightarrow x>=0 e
raiz7+x exige 7+x>=0Rightarrow x>=-7.
Combinando, temos o domínio inicial
x>=0

Passo 3

Isolamos um dos radicais, por exemplo raiz2x:
raiz2x=1+raiz7+x
Agora elevamos ambos os lados ao quadrado:
2x=l(1+raiz7+xr)^2 =1+2raiz7+x+(7+x) =8+x+2raiz7+x
Reorganizando,
2x - x - 8 = 2raiz7+x Longrightarrow x - 8 = 2raiz7+x

Passo 4

Antes de elevar de novo, notamos que o lado direito 2raiz7+x é não-negativo, logo precisamos de
x-8>=0 Longrightarrow x>=8
Isso restringe nosso domínio para x>=8. Agora elevamos (x-8)=2raiz7+x ao quadrado:
(x-8)^2 = 4(7+x)

Passo 5

Desenvolvendo e agrupando termos,
x^2 -16x +64 = 28 +4x Longrightarrow x^2 -20x +36 = 0
A equação quadrática tem discriminante De<a=(-20)^2 -4cdot1cdot36=400-144=256, cujas raízes são
x=20pm162 ;Rightarrow; x=18;ou;x=2
Mas lembrando que precisamos de x>=8, ficamos apenas com x=18.

Passo 6

Verificação na equação original para x=18:
raiz2cdot18-raiz7+18 = raiz36-raiz25 =6-5=1,
confirma que x=18 é solução válida.

Resposta

A única solução é x=18.

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