Resolva as seguintes equações:
x^12-3 x^13=3 x^16-9

Passo 1

O problema é resolver a equação com expoentes fracionários x^1/2 - 3x^1/3 = 3x^1/6 - 9. O conteúdo aqui envolve propriedades de radicais e substituição de variáveis para transformar em equação polinomial.

Passo 2

Como estamos lidando com x^1/2, x^1/3 e x^1/6, devemos exigir x>=0 para que todas as potências estejam bem definidas.

Passo 3

Fazemos a substituição t = x^1/6, com t>=0. Então x^1/2 = (x^1/6)^3 = t^3 e x^1/3 = (x^1/6)^2 = t^2. A equação original vira:
t^3 - 3t^2 = 3t - 9

Passo 4

Reorganizando todos os termos num lado, obtemos:
t^3 - 3t^2 - 3t + 9 = 0
Para fatorar, agrupamos:
t^2(t - 3) - 3(t - 3) = 0 (t^2 - 3)(t - 3) = 0

Passo 5

As raízes da equação em t são t - 3 = 0 dando t = 3 e t^2 - 3 = 0 dando t = pmraiz3. Como t>=0, ficamos com t = 3 e t = raiz3.

Passo 6

Voltando à variável x, temos x = t^6. Assim:
  • Para t = 3: x = 3^6 = 729.
  • Para t = raiz3: x = (raiz3)^6 = 3^3 = 27
    Ambas satisfazem a equação original e são não-negativas.

Resposta

As soluções reais são x = 27 e x = 729.

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