Resolva as seguintes equações (nos reais); se necessário, faça o inverso multiplicativo.
32 x^10-31 x^5-1=0

Passo 1

Vamos resolver a equação 32 x^10 - 31 x^5 - 1 = 0. Aqui, estamos lidando com uma equação polinomial de grau 10. Para facilitar a resolução, vamos usar uma substituição que simplifica a equação para um formato mais manejável.

Passo 2

Observamos que x^10 pode ser escrito como (x^5)^2. Vamos fazer a substituição:
y = x^5
Assim, a equação original fica:
32 y^2 - 31 y - 1 = 0
Agora, temos uma equação quadrática em termos de y.

Passo 3

Para resolver a equação quadrática 32 y^2 - 31 y - 1 = 0, vamos usar a fórmula de Bhaskara, que é uma forma padrão de resolver equações do segundo grau. A fórmula é:
y = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 32, b = -31 e c = -1.

Passo 4

Calculando o discriminante ( De):
De
Como De é positivo e um quadrado perfeito ( 33^2 = 1089), teremos duas soluções reais.

Passo 5

Aplicando a fórmula de Bhaskara:
y = 31 pm 3364
Isso nos dá duas soluções para y:
y1 = 31 + 3364 = 6464 = 1
y2 = 31 - 3364 = -264 = -132

Passo 6

Agora, lembrando que y = x^5, vamos encontrar x para cada valor de y:
  1. Para y1 = 1:
x^5 = 1 implies x = raiz[5]1 = 1
  1. Para y2 = -132:
x^5 = -132 implies x = raiz[5]-132 = -raiz[5]132 = -12

Resposta

As soluções reais da equação são x = 1 e x = -dfrac12.

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