Resolva as seguintes equações (nos reais); se necessário, faça o inverso multiplicativo.
(49)^x+2=3 cdot(94)^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação juntos! O enunciado pede para resolver a equação (49)^x + 2 = 3 cdot(94)^x para números reais. Vamos usar conhecimentos de exponenciais e manipulação algébrica, incluindo o inverso multiplicativo, para encontrar o valor de x.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Observe que 94 é o inverso de 49, ou seja, 94 = (49)^-1. Então, podemos reescrever a equação assim:
(49)^x + 2 = 3 cdot (49)^-x

Passo 3

Agora, vamos chamar (49)^x de y para simplificar a equação:
y + 2 = 3 cdot y^-1
Lembre-se que y^-1 = 1y.

Passo 4

Vamos multiplicar todos os termos por y para eliminar a fração:
y cdot y + 2 cdot y = 3
Isso simplifica para:
y^2 + 2y - 3 = 0

Passo 5

Agora temos uma equação quadrática. Vamos resolver y^2 + 2y - 3 = 0 usando a fórmula de Bhaskara. Os coeficientes são:
a = 1, b = 2, c = -3
O discriminante ( De) é:
De
Então, as soluções para y são:
y = -b pm raizDe
Isso dá:
y1 = 22 = 1 e y2 = -62 = -3

Passo 6

Agora, lembrando que y = (49)^x, precisamos encontrar x para cada valor de y.
Para y1 = 1:
(49)^x = 1
Sabemos que qualquer número elevado a zero é 1, então:
x = 0
Para y2 = -3:
(49)^x = -3
No entanto, uma base positiva elevada a qualquer exponente real nunca será negativa. Portanto, não há solução real para y2.

Resposta

A única solução real para a equação é x = 0.

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