Sabe-se que x^2-7=1+x^2x^2-4, com x neq-2 e x neq 2. Determine as raízes dessa equação no conjunto dos números reais.

Passo 1

O exercício dá a equação racional x^2-7=1+x^2x^2-4, pede as raízes reais e aponta que xneq pm2. O conteúdo aqui é resolução de equações racionais, em que vamos precisar determinar o domínio, multiplicar por denominadores e resolver o polinômio resultante.

Passo 2

Analisando o domínio, como temos a fração 1+x^2x^2-4, é preciso garantir x^2-4neq0. Logo, xneq2 e xneq-2, o que já foi dado.

Passo 3

Para eliminar o denominador, multiplica-se ambos os lados por x^2-4:
(x^2-7)(x^2-4)=1+x^2

Passo 4

Desenvolvendo o produto no lado esquerdo:
x^2(x^2-4)-7(x^2-4)=x^4-4x^2-7x^2+28=x^4-11x^2+28

Passo 5

Então a equação fica:
x^4-11x^2+28=1+x^2

Passo 6

Trazendo tudo para o mesmo lado:
x^4-11x^2-x^2+28-1=0

Passo 7

ou seja
x^4-12x^2+27=0

Passo 8

Fazendo a substituição y=x^2, obtemos a equação quadrática
y^2-12y+27=0

Passo 9

Calculando o discriminante:
De

Passo 10

As raízes em y são
y=12pm62implies y=9 ou y=3

Passo 11

Voltando a x, temos
x^2=9implies x=pm3
e
x^2=3implies x=pmraiz3

Passo 12

Como nenhuma dessas soluções é pm2, todas estão no domínio. Portanto, as raízes reais são os quatro valores encontrados.

Resposta

x=\pm3,\ \pm\sqrt{3}

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