Resolva as seguintes equações redutíveis a homogênea:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
. Isso é do tipo “redutível a homogênea”, pois tanto o numerador quanto o denominador são funções afins em
e
. Vamos precisar usar uma mudança de variável para eliminar as constantes e obter uma equação homogênea.
Passo 2
Repare que tanto
quanto
dependem de
. Definimos
. Então
$$\frac{dv}{dx}=\frac{d}{dx}(x-3y)=1-3\frac{dy}{dx}=1-3y
Passo 3
Como
, substituímos em
:
Passo 4
Agora separamos variáveis e integramos:
Passo 5
Decompomos a fração:
Passo 6
Integrando,
Passo 7
Multiplicando por 25 e voltando a
, obtemos
$$5v-27\ln|5v+7|=-25x+C
Passo 8
Passo 9
Reorganizando em forma implícita mais simples,
Resposta
A solução implícita geral é