Resolva as seguintes equações redutíveis a homogênea:
y^prime=2 x-6 y+1x-3 y-4

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial y'=2x-6y+1x-3y-4. Isso é do tipo “redutível a homogênea”, pois tanto o numerador quanto o denominador são funções afins em x e y. Vamos precisar usar uma mudança de variável para eliminar as constantes e obter uma equação homogênea.

Passo 2

Repare que tanto 2x-6y+1 quanto x-3y-4 dependem de v=x-3y. Definimos v=x-3y. Então
$$\frac{dv}{dx}=\frac{d}{dx}(x-3y)=1-3\frac{dy}{dx}=1-3y

Passo 3

Como y'=2x-6y+1x-3y-4=2v+1v-4, substituímos em dv/dx:
dvdx=1-32v+1v-4=(v-4)-3(2v+1)v-4=-5v-7v-4

Passo 4

Agora separamos variáveis e integramos:
integralv-45v+7,dv=-integral dx

Passo 5

Decompomos a fração:
v-45v+7=15-27/55v+7

Passo 6

Integrando,
integrall(15-27/55v+7r)dv=v5-2725ln|5v+7|=-x+C

Passo 7

Multiplicando por 25 e voltando a v=x-3y, obtemos
$$5v-27\ln|5v+7|=-25x+C

Passo 8

5(x-3y)-27ln|5(x-3y)+7|=-25x+C'

Passo 9

Reorganizando em forma implícita mais simples,
10x-5y-9ln|5x-15y+7|=C

Resposta

A solução implícita geral é
10x-5y-9ln|5x-15y+7|=C

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