Resolva
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
com as condições iniciais:
Essa equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e um termo não homogêneo. Para resolver, vamos precisar entender como resolver equações homogêneas e encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com solução geral da forma:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular ($ x_p(t) $) para a equação completa:
Primeiro, simplificamos o lado direito usando a identidade trigonométrica:
Então, a equação fica:
Vamos dividir a solução particular em duas partes: uma para $ \frac{1}{2} $ e outra para $ -\frac{\cos(4t)}{2} $.
Passo 4
Para o termo constante $ \frac{1}{2} $, supomos uma solução particular constante $ x_{p1} $. Substituindo na equação:
Passo 5
Para o termo $ -\frac{\cos(4t)}{2} $, supomos uma solução particular da forma:
Derivando duas vezes:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Isso dá:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular para esse termo é:
Passo 6
A solução particular total é a soma das duas soluções particulares encontradas:
Passo 7
Agora, juntamos a solução geral da equação homogênea com a particular:
Passo 8
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $. Primeiro, calculamos $ x(t) $ e sua derivada $ \dot{x}(t) $:
Agora, aplicando $ t = \frac{\pi}{8} $:
Para $ x\left(\frac{\pi}{8}\right) = 0 $:
Sabendo que $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ e $ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $, temos:
Passo 9
Para $ \dot{x}\left(\frac{\pi}{8}\right) = 0 $:
Sabendo que $ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ e $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $, temos:
Passo 10
Agora, temos o sistema de equações:
- $ C_1 + C_2 = -\frac{\sqrt{2}}{8} $
- $ -C_1 + C_2 = \frac{1}{6\sqrt{2}} $
Subtraindo a primeira da segunda:
Usando a primeira equação para encontrar $ C_2 $:
Simplificando:
Resposta
A solução da equação diferencial é: