Resolva tildex+4 x=sen^2 2 t ; x(pi / 8)=0, dotx(pi / 8)=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
ddotx + 4x = sin^2(2t)
com as condições iniciais:
x(pi8) = 0 e dotx(pi8) = 0
Essa equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e um termo não homogêneo. Para resolver, vamos precisar entender como resolver equações homogêneas e encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
ddotx + 4x = 0
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com solução geral da forma:
xh(t) = C1 cos(2t) + C2 sin(2t)
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ($ x_p(t) $) para a equação completa:
xp(t)
Primeiro, simplificamos o lado direito usando a identidade trigonométrica:
ddotx + 4x = sin^2(2t)
Então, a equação fica:
sin^2(2t) = 1 - cos(4t)2
Vamos dividir a solução particular em duas partes: uma para $ \frac{1}{2} $ e outra para $ -\frac{\cos(4t)}{2} $.

Passo 4

Para o termo constante $ \frac{1}{2} $, supomos uma solução particular constante $ x_{p1} $. Substituindo na equação:
12

Passo 5

Para o termo $ -\frac{\cos(4t)}{2} $, supomos uma solução particular da forma:
-cos(4t)2
Derivando duas vezes:
xp2(t) = A cos(4t) + B sin(4t)
Substituindo na equação:
ddotxp2 = -16A cos(4t) - 16B sin(4t)
Simplificando:
-16A cos(4t) - 16B sin(4t) + 4(A cos(4t) + B sin(4t)) = -cos(4t)2
Isso dá:
(-16A + 4A) cos(4t) + (-16B + 4B) sin(4t) = -cos(4t)2
Igualando os coeficientes:
-12A cos(4t) -12B sin(4t) = -cos(4t)2
-12A = -12 Rightarrow A = 124
Então, a solução particular para esse termo é:
-12B = 0 Rightarrow B = 0

Passo 6

A solução particular total é a soma das duas soluções particulares encontradas:
xp(t) = xp1 + xp2(t) = 18 + 124 cos(4t)

Passo 7

Agora, juntamos a solução geral da equação homogênea com a particular:
x(t) = xh(t) + xp(t) = C1 cos(2t) + C2 sin(2t) + 18 + 124 cos(4t)

Passo 8

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $. Primeiro, calculamos $ x(t) $ e sua derivada $ \dot{x}(t) $:
C1
C2
Agora, aplicando $ t = \frac{\pi}{8} $:
Para $ x\left(\frac{\pi}{8}\right) = 0 $:
x(t)
Sabendo que $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ e $ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $, temos:
dotx(t)

Passo 9

Para $ \dot{x}\left(\frac{\pi}{8}\right) = 0 $:
dotx(pi8) = 0
Sabendo que $ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ e $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $, temos:
-2C1 sin(pi4) + 2C2 cos(pi4) - 16 sin(pi2) = 0

Passo 10

Agora, temos o sistema de equações:
  1. $ C_1 + C_2 = -\frac{\sqrt{2}}{8} $
  2. $ -C_1 + C_2 = \frac{1}{6\sqrt{2}} $
Subtraindo a primeira da segunda:
C1 + C2 = -raiz28
-C1 + C2 = 16raiz2
(-C1 + C2) - (C1 + C2) = 16raiz2 + raiz28
Usando a primeira equação para encontrar $ C_2 $:
-2C1 = 16raiz2 + raiz28
Simplificando:
C1 = -12 ( 16raiz2 + raiz28 ) = -112raiz2 - raiz216

Resposta

A solução da equação diferencial é:
x(t) = ( -112raiz2 - raiz216 ) cos(2t) + ( -raiz216 + 112raiz2 ) sin(2t) + 18 + 124 cos(4t)

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