Questão 1. Considere o vetor N=(1,-2,-4) Determine todos os vetores X=(x, y, z) que são ortogonais a N. Entre estes vetores, determine dois vetores:
(i) Um vetor V1, que é também perpendicular ao eixo z com segunda componente igual a um.
(ii) Um vetor V2, que é também perpendicular ao eixo y com terceira componente igual a um.
Determine um vetor W2, que é perpendicular a V1 e tal que a diferença V2-W2 é paralela a V1. Marque a alternativa que contem a primeira componente de W2.
(a) -113
(b) 4817
(c) 45
(d) -2513
(e) 317
(f) 35
(g) 125
(h) 165

Passo 1

O enunciado pede todos os vetores X=(x,y,z) tais que X é ortogonal a N=(1,-2,-4). Entre eles, queremos
  • (i) um vetor V1 que seja também perpendicular ao eixo z (i.e.\ com z=0) e tenha segunda componente igual a 1;
  • (ii) um vetor V2 que seja também perpendicular ao eixo y (i.e.\ com y=0) e tenha terceira componente igual a 1.
    Em seguida, determinamos um vetor W2 que seja perpendicular a V1 e tal que V2-W2 seja paralelo a V1. Por fim, extraímos a primeira componente de W2.

Passo 2

A condição de ortogonalidade Xperp N é
x - 2y - 4z = 0

Passo 3

Para V1 temos z=0 e y=1. Substituindo em x - 2y - 4z = 0
x - 2cdot1 - 4cdot0 = 0 ;Longrightarrow; x = 2
Logo
V1 = (2,1,0)

Passo 4

Para V2 temos y=0 e z=1. Substituindo em x - 2y - 4z = 0
x - 2cdot0 - 4cdot1 = 0 ;Longrightarrow; x = 4
Logo
V2 = (4,0,1)

Passo 5

Queremos W2 tal que W2perp V1 e V2-W2 seja paralelo a V1. Isso significa que
V2-W2 = projV1(V2)
e, portanto,
W2 = V2 - projV1(V2), projV1(V2) = V2cdot V1V1cdot V1;V1

Passo 6

Calculamos os produtos:
V2cdot V1 = 4cdot2 + 0cdot1 + 1cdot0 = 8, V1cdot V1 = 2^2 + 1^2 + 0^2 = 5
Logo
projV1(V2) = 85,(2,1,0) = l(tfrac165,tfrac85,0r),
W2 = (4,0,1) - l(tfrac165,tfrac85,0r) = l(4-tfrac165,;0-tfrac85,;1r) = l(tfrac45,-tfrac85,1r)

Passo 7

A primeira componente de W2 é
tfrac45

Resposta

A alternativa correta é a (c) tfrac45.

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