Resolva as seguintes equações:
yx d x+(y^3-ln (x)) d y=0 ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você mandou:
yx , dx + (y^3 - ln(x)) , dy = 0
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata ou se precisamos usar um fator integrante. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Podemos escrever essa equação na forma:
M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0
Onde:
M(x, y) = yx e N(x, y) = y^3 - ln(x)
Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de em relação a e de em relação a .

Passo 3

Calculando as derivadas:
partial Mpartial y = 1x e partial Npartial x = -1x
Como , a equação não é exata. Isso significa que precisamos encontrar um fator integrante para tornar a equação exata.

Passo 4

Vamos buscar um fator integrante que dependa somente de mu(y) = e^integral partial Npartial x - partial Mpartial yM , dy . A fórmula para encontrar esse fator é:
mu(y) = e^integral -1x - 1xyx , dy = e^integral -2y , dy = e^-2 ln(y) = y^-2
Substituindo os valores que já calculamos:
Então, o fator integrante é .

Passo 5

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante y^-2 cdot yx , dx + y^-2 cdot (y^3 - ln(x)) , dy = 0 :
1x y , dx + (y - ln(x)y^2) , dy = 0
Simplificando:
M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0
Vamos chamar essa nova equação de:
M(x, y) = 1x y e N(x, y) = y - ln(x)y^2
Onde agora:

Passo 6

Vamos verificar se a nova equação é exata:
partial Mpartial y = -1x y^2 e partial Npartial x = -1x y^2
Como partial Fpartial x = M e partial Fpartial y = N , a equação é exata agora. Isso significa que existe uma função tal que:

Passo 7

Vamos encontrar a função F(x, y) = integral 1x y , dx = ln(x)y + h(y) integrando partial Fpartial y = -ln(x)y^2 + h'(y) = y - ln(x)y^2 em relação a h'(y) = y Rightarrow h(y) = y^22 + C :
F(x, y) = ln(x)y + y^22 = C
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso nos dá:
Portanto, a função completa é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
ln(x)y + y^22 = C
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados