Resolva as seguintes equações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você mandou:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata ou se precisamos usar um fator integrante. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Podemos escrever essa equação na forma:
Onde:
Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
.
Passo 3
Calculando as derivadas:
Como
, a equação não é exata. Isso significa que precisamos encontrar um fator integrante para tornar a equação exata.
Passo 4
Vamos buscar um fator integrante que dependa somente de
. A fórmula para encontrar esse fator é:
Substituindo os valores que já calculamos:
Então, o fator integrante é
.
Passo 5
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Vamos chamar essa nova equação de:
Onde agora:
Passo 6
Vamos verificar se a nova equação é exata:
Como
, a equação é exata agora. Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 7
Vamos encontrar a função
integrando
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos dá:
Portanto, a função
completa é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.