Resolva os seguintes exercícios, calculando as derivadas parciais de primeira e segunda ordem:
Dada
-
)
Dada
-
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem:
-
e ; -
, e .
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Implicitamente a função só está definida para
, pois o denominador não pode ser zero. - Precisamos das derivadas parciais em pontos onde a função é definida.
Passo 2
Relembrando regras que vamos usar (sem pular etapas):
- Definição de derivada parcial: para
, a derivada parcial em relação a é o limite da variação de quando só varia e fica fixo. Escrevemos . - Produto e cadeia: se
e são funções, . Se , usa-se a regra da cadeia: . - Regra do quociente: pode ser vista como produto por
ou direto. Eu vou usar a escrita como produto , que facilita a aplicação do produto+cadeia.
Para simplificar notação em cálculos posteriores, definimos
Assim
. Sempre que eu usar
, lembre que
.
Passo 3
Cálculo de
.
Escrevemos
. Aplicando a regra do produto em relação a
:
-
tem . -
tem, pela regra da cadeia, . Mas . Então .
Agora:
Colocando em denominação comum
:
Portanto
Passo 4
Cálculo de
.
Partimos de
. Agora
é tratado como constante ao derivar em relação a
. Usamos a regra do produto (ou apenas a regra da cadeia no fator
):
-
tem . -
tem . Mas . Logo .
Assim
Reescrevendo com
:
Passo 5
Cálculo de
.
Usamos a forma já obtida para
:
com
. Queremos
de
. Aplicamos a regra do quociente (ou produto com
); aqui uso o quociente de forma organizada.
Seja
e
. Então
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
-
. -
.
Aplicando a regra do quociente:
Substituindo:
Calculamos o termo dentro do parêntese:
Então o numerador fica
. Dividindo por
:
Voltando a
:
Passo 6
Cálculo de
.
Usamos a expressão de
obtida:
Aqui
é constante ao derivar em
. Aplicamos produto (ou primeiro vemos
). Derivando em
:
Lembrando
, obtemos
Colocando em denominação comum
:
Como
, temos
Passo 7
Cálculo de
(e checagem com
).
Usamos a expressão de
:
Derivamos em relação a
. Novamente, com
e
:
-
. -
(como antes, ).
Pela regra do quociente:
Fatorando
:
Calculamos o parêntese:
Portanto
Se quisermos checar consistência, podemos derivar
em
e obter
. Partindo de
e derivando em
obtemos exatamente a mesma expressão, o que confirma
para
.