Resolva os seguintes exercícios, calculando as derivadas parciais de primeira e segunda ordem:
Dada z(x, y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\, calcule: - \(z_{x} ; z_{y}
- z_{x x} ; z_{y y} ; z_{x y})

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle z(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}} e pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem:
  • z_{x} e z_{y};
  • z_{xx}, z_{yy} e z_{xy}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é \displaystyle z(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
  • Implicitamente a função só está definida para (x,y)\neq(0,0), pois o denominador não pode ser zero.
  • Precisamos das derivadas parciais em pontos onde a função é definida.

Passo 2

Relembrando regras que vamos usar (sem pular etapas):
  • Definição de derivada parcial: para \displaystyle z(x,y), a derivada parcial em relação a x é o limite da variação de z quando só x varia e y fica fixo. Escrevemos \displaystyle z_x=\frac{\partial z}{\partial x}.
  • Produto e cadeia: se u(x,y) e v(x,y) são funções, \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(u v)=u_x v + u v_x. Se v = g(h(x,y)), usa-se a regra da cadeia: v_x = g'(h)\cdot h_x.
  • Regra do quociente: pode ser vista como produto por (den)^{-1} ou direto. Eu vou usar a escrita como produto \displaystyle z = x\cdot (x^2+y^2)^{-1}, que facilita a aplicação do produto+cadeia.
Para simplificar notação em cálculos posteriores, definimos
S := x^{2}+y^{2}.
Assim \displaystyle z=\frac{x}{S}=xS^{-1}. Sempre que eu usar S, lembre que S=x^{2}+y^{2}.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle z_{x}.
Escrevemos \displaystyle z = x\cdot S^{-1}. Aplicando a regra do produto em relação a x:
  • u(x,y)=x tem u_x=1.
  • v(x,y)=S^{-1} tem, pela regra da cadeia, v_x = -1\cdot S^{-2}\cdot S_x. Mas S_x = 2x. Então v_x = -2x S^{-2}.
Agora:
\begin{aligned} z_x &= u_x v + u v_x \\\ &= 1\cdot S^{-1} + x\cdot(-2x S^{-2})\\\ &= S^{-1} - 2x^{2} S^{-2}. \end{aligned}
Colocando em denominação comum S^{2}:
z_x = \frac{S - 2x^{2}}{S^{2}} = \frac{x^{2}+y^{2}-2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Portanto
\boxed{\,z_x=\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\,.}

Passo 4

Cálculo de \displaystyle z_{y}.
Partimos de \displaystyle z=xS^{-1}. Agora x é tratado como constante ao derivar em relação a y. Usamos a regra do produto (ou apenas a regra da cadeia no fator S^{-1}):
  • u(x,y)=x tem u_y=0.
  • v(x,y)=S^{-1} tem v_y = -1\cdot S^{-2}\cdot S_y. Mas S_y = 2y. Logo v_y = -2y S^{-2}.
Assim
z_y = u_y v + u v_y = 0\cdot S^{-1} + x\cdot(-2y S^{-2}) = -2xy S^{-2}.
Reescrevendo com S=(x^{2}+y^{2}):
\boxed{\,z_y = -\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\,.}

Passo 5

Cálculo de \displaystyle z_{xx}.
Usamos a forma já obtida para z_x:
z_x = \frac{y^{2}-x^{2}}{S^{2}},
com S=x^{2}+y^{2}. Queremos \partial/\partial x de z_x. Aplicamos a regra do quociente (ou produto com S^{-2}); aqui uso o quociente de forma organizada.
Seja N(x,y)=y^{2}-x^{2} e D(x,y)=S^{2}. Então
z_x = \frac{N}{D}.
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
  • N_x = -2x.
  • D_x = 2S\cdot S_x = 2S\cdot 2x = 4xS.
Aplicando a regra do quociente:
z_{xx} = \frac{N_x D - N D_x}{D^{2}}.
Substituindo:
\begin{aligned} z_{xx} &= \frac{(-2x)S^{2} - (y^{2}-x^{2})\cdot 4xS}{S^{4}} \\\ &= \frac{-2xS^{2} - 4x(y^{2}-x^{2})S}{S^{4}} \\\ &= \frac{-2xS\bigl(S + 2(y^{2}-x^{2})\bigr)}{S^{4}}. \end{aligned}
Calculamos o termo dentro do parêntese:
S + 2(y^{2}-x^{2}) = (x^{2}+y^{2}) + 2y^{2} - 2x^{2} = -x^{2} + 3y^{2}.
Então o numerador fica -2xS(-x^{2}+3y^{2}) = 2xS(x^{2}-3y^{2}). Dividindo por S^{4}:
z_{xx} = \frac{2xS(x^{2}-3y^{2})}{S^{4}} = \frac{2x(x^{2}-3y^{2})}{S^{3}}.
Voltando a x,y:
\boxed{\,z_{xx}=\frac{2x(x^{2}-3y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{3}}\,.}

Passo 6

Cálculo de \displaystyle z_{yy}.
Usamos a expressão de z_y obtida:
z_y = -2x y S^{-2}.
Aqui x é constante ao derivar em y. Aplicamos produto (ou primeiro vemos z_y = -2x\cdot y \cdot S^{-2}). Derivando em y:
\begin{aligned} z_{yy} &= -2x\cdot \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y S^{-2}\bigr) \\\ &= -2x\Bigl(1\cdot S^{-2} + y\cdot(-2)S^{-3}\cdot S_y\Bigr). \end{aligned}
Lembrando S_y=2y, obtemos
\begin{aligned} z_{yy} &= -2x\Bigl(S^{-2} + y\cdot(-2)S^{-3}\cdot 2y\Bigr) \\\ &= -2x\Bigl(S^{-2} -4y^{2}S^{-3}\Bigr) \\\ &= -2xS^{-2} +8x y^{2} S^{-3}. \end{aligned}
Colocando em denominação comum S^{3}:
z_{yy} = \frac{-2xS + 8x y^{2}}{S^{3}} = \frac{2x(-S +4y^{2})}{S^{3}}.
Como -S +4y^{2} = -(x^{2}+y^{2}) +4y^{2} = -x^{2}+3y^{2}, temos
\boxed{\,z_{yy}=\frac{2x(3y^{2}-x^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{3}}\,.}

Passo 7

Cálculo de \displaystyle z_{xy} (e checagem com z_{yx}).
Usamos a expressão de z_x:
z_x = \frac{y^{2}-x^{2}}{S^{2}}.
Derivamos em relação a y. Novamente, com N=y^{2}-x^{2} e D=S^{2}:
  • N_y = 2y.
  • D_y = 4yS (como antes, D_y = 2S\cdot S_y = 2S\cdot 2y).
Pela regra do quociente:
z_{xy} = \frac{N_y D - N D_y}{D^{2}} = \frac{2y S^{2} - (y^{2}-x^{2})\cdot 4y S}{S^{4}}.
Fatorando 2yS:
z_{xy} = \frac{2yS\bigl(S -2(y^{2}-x^{2})\bigr)}{S^{4}} = \frac{2y\bigl(S -2(y^{2}-x^{2})\bigr)}{S^{3}}.
Calculamos o parêntese:
S -2(y^{2}-x^{2}) = (x^{2}+y^{2}) -2y^{2} +2x^{2} = 3x^{2}-y^{2}.
Portanto
\boxed{\,z_{xy}=\frac{2y(3x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{3}}\,.}
Se quisermos checar consistência, podemos derivar z_y em x e obter z_{yx}. Partindo de z_y=-2xyS^{-2} e derivando em x obtemos exatamente a mesma expressão, o que confirma z_{xy}=z_{yx} para (x,y)\neq(0,0).

Resposta

z_{x}=\dfrac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}
z_{y}=-\dfrac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}
z_{x x}=\dfrac{2x(x^{2}-3y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{3}}
z_{y y}=\dfrac{2x(3y^{2}-x^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{3}}
z_{x y}=\dfrac{2y(3x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{3}}

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