Resolva os seguintes exercícios, calculando as derivadas parciais de primeira e segunda ordem:
Dada u=(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\, determine: - \(u_{x} ; u_{y}
- u_{x x} ; u_{y y} ; u_{x y})

Passo 1

O enunciado dá a função u(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e pede para determinar:
  • u_{x} e u_{y} (as derivadas parciais de primeira ordem);
  • u_{x x}, u_{y y} e u_{x y} (as derivadas parciais de segunda ordem).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é u(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{1/2}.
  • Devemos fornecer as expressões das derivadas parciais (note que as fórmulas envolverão divisão por \sqrt{x^{2}+y^{2}}, então atenção ao ponto (0,0), onde essas expressões ficam indeterminadas).

Passo 2

Lembrete didático (como calcular derivadas parciais): para calcular a derivada parcial de u em relação a x, tratamos y como constante e derivamos como se u fosse função de uma variável x. Usaremos a regra da cadeia: se u(v)=g(v) com v=v(x), então \dfrac{du}{dx}=g'(v)\cdot v'(x).
Aqui é útil definir a função interior
r(x,y)=x^{2}+y^{2},
de modo que
u(x,y)=\bigl(r(x,y)\bigr)^{1/2}.
A derivada da função potência s\mapsto s^{1/2} é \dfrac{d}{ds}s^{1/2}=\dfrac{1}{2}s^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{s}}. Vamos aplicar isso com s=r(x,y).

Passo 3

Cálculo de u_{x} passo a passo:
Escrevemos u(x,y)=\bigl(r(x,y)\bigr)^{1/2} com r(x,y)=x^{2}+y^{2}.
Aplicando a regra da cadeia:
u_{x}=\frac{1}{2}\bigl(r(x,y)\bigr)^{-1/2}\cdot r_{x}.
Como r_{x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})=2x (lembrando que y é constante ao derivar em relação a x), substituímos:
u_{x}=\frac{1}{2}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{-1/2}\cdot 2x.
Simplificando os 2:
u_{x}=x\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{-1/2}.
Escrevendo em forma de raiz:
u_{x}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.

Passo 4

Cálculo de u_{y} passo a passo (análogo ao caso anterior):
Usamos r_{y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2})=2y. Pela regra da cadeia:
u_{y}=\frac{1}{2}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{-1/2}\cdot 2y.
Simplificando:
u_{y}=y\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{-1/2}=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.

Passo 5

Observação sobre o domínio: as expressões obtidas para u_{x} e u_{y} contêm \sqrt{x^{2}+y^{2}} no denominador, portanto são válidas para todos os pontos (x,y) com \bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)>0, ou seja, para (x,y)\neq(0,0). No ponto (0,0) a função u não é diferenciável (o gradiente não existe como um vetor finito), então as fórmulas acima não se aplicam em (0,0).

Passo 6

Cálculo de u_{x x} (derivada parcial de u_{x} em relação a x):
Partimos de u_{x}=x\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{-1/2}. Usamos a regra do produto: se f(x)=x e g(x)=(x^{2}+y^{2})^{-1/2} (aqui y é tratado como constante), então
u_{x x}=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
Calculamos cada termo:
f'(x)=1,
g'(x)=-\tfrac{1}{2}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{-3/2}\cdot 2x = -x\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{-3/2},
onde usamos a regra da cadeia para g(x).
Agora:
u_{x x}=1\cdot\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{-1/2} + x\cdot\bigl(-x\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{-3/2}\bigr).
Agrupando:
u_{x x}=\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{-1/2} - x^{2}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{-3/2}.
Colocando sobre o mesmo denominador \bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{3/2}:
u_{x x}=\frac{x^{2}+y^{2}}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{3/2}}-\frac{x^{2}}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{3/2}} =\frac{y^{2}}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{3/2}}.
Portanto
u_{x x}=\frac{y^{2}}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{3/2}}\quad\text{para }(x,y)\neq(0,0).

Passo 7

Cálculo de u_{y y} (simetria do processo):
Partimos de u_{y}=y\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{-1/2} e diferenciamos em relação a y (tratando x como constante). Pela regra do produto:
u_{y y}=1\cdot\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{-1/2} + y\cdot\bigl(-y\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{-3/2}\bigr).
Simplificando e colocando no mesmo denominador:
u_{y y}=\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{-1/2} - \frac{y^{2}}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{3/2}} =\frac{x^{2}}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{3/2}}.
Portanto
u_{y y}=\frac{x^{2}}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{3/2}}\quad\text{para }(x,y)\neq(0,0).

Passo 8

Cálculo de u_{x y} (derivada de u_{x} em relação a y):
Usamos u_{x}=x\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{-1/2}. Agora x é constante ao derivar em relação a y, então aplicamos a regra da cadeia direta sobre (x^{2}+y^{2})^{-1/2}:
u_{x y}=x\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{-3/2}\cdot 2y\right).
Simplificando os fatores:
u_{x y}=x\cdot\bigl(-y\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{-3/2}\bigr) = -\frac{xy}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{3/2}}.
Isso vale para (x,y)\neq(0,0).

Passo 9

Comentário final sobre a derivada mista: pela simetria e pelo teorema de Clairaut (quando as segundas derivadas são contínuas no ponto considerado), deve ocorrer u_{x y}=u_{y x}. Podemos verificar rapidamente que, diferenciando u_{y}=y(x^{2}+y^{2})^{-1/2} em relação a x, obtemos o mesmo resultado -\dfrac{xy}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}} para (x,y)\neq(0,0).

Resposta

u_{x}=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\n
u_{y}=\dfrac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\n
u_{x x}=\dfrac{y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}\n
u_{y y}=\dfrac{x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}\n
u_{x y}=-\dfrac{xy}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}

Exercícios relacionados