Resolva os seguintes exercícios, calculando as derivadas parciais de primeira e segunda ordem:
Dada
-
)
Dada
-
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar:
-
e (as derivadas parciais de primeira ordem); -
, e (as derivadas parciais de segunda ordem).
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Devemos fornecer as expressões das derivadas parciais (note que as fórmulas envolverão divisão por
, então atenção ao ponto , onde essas expressões ficam indeterminadas).
Passo 2
Lembrete didático (como calcular derivadas parciais): para calcular a derivada parcial de
em relação a
, tratamos
como constante e derivamos como se
fosse função de uma variável
. Usaremos a regra da cadeia: se
com
, então
.
Aqui é útil definir a função interior
de modo que
A derivada da função potência
é
. Vamos aplicar isso com
.
Passo 3
Cálculo de
passo a passo:
Escrevemos
com
.
Aplicando a regra da cadeia:
Como
(lembrando que
é constante ao derivar em relação a
), substituímos:
Simplificando os
:
Escrevendo em forma de raiz:
Passo 4
Cálculo de
passo a passo (análogo ao caso anterior):
Usamos
. Pela regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 5
Observação sobre o domínio: as expressões obtidas para
e
contêm
no denominador, portanto são válidas para todos os pontos
com
, ou seja, para
. No ponto
a função
não é diferenciável (o gradiente não existe como um vetor finito), então as fórmulas acima não se aplicam em
.
Passo 6
Cálculo de
(derivada parcial de
em relação a
):
Partimos de
. Usamos a regra do produto: se
e
(aqui
é tratado como constante), então
Calculamos cada termo:
onde usamos a regra da cadeia para
.
Agora:
Agrupando:
Colocando sobre o mesmo denominador
:
Portanto
Passo 7
Cálculo de
(simetria do processo):
Partimos de
e diferenciamos em relação a
(tratando
como constante). Pela regra do produto:
Simplificando e colocando no mesmo denominador:
Portanto
Passo 8
Cálculo de
(derivada de
em relação a
):
Usamos
. Agora
é constante ao derivar em relação a
, então aplicamos a regra da cadeia direta sobre
:
Simplificando os fatores:
Isso vale para
.
Passo 9
Comentário final sobre a derivada mista: pela simetria e pelo teorema de Clairaut (quando as segundas derivadas são contínuas no ponto considerado), deve ocorrer
. Podemos verificar rapidamente que, diferenciando
em relação a
, obtemos o mesmo resultado
para
.