Resolva os seguintes exercícios, calculando as derivadas parciais de primeira e segunda ordem:
Para
. Calcule:
-
-
Para
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que calculemos as derivadas parciais de primeira ordem
e
, e as derivadas parciais de segunda ordem
,
e
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a função é explicitamente dependente de e
apenas através da combinação linear
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a função é explicitamente dependente de
Passo 2
O que é derivada parcial?
A derivada parcial de em relação a
,
, é a taxa de variação de
quando
varia e
fica fixo. Analogamente,
é a taxa de variação quando
varia e
fica fixo. Para calcular, tratamos a outra variável como constante e derivamos normalmente. Vou fazer isso passo a passo, devagar.
A derivada parcial de
Passo 3
Vamos calcular
.
Definimos a função interna
Definimos a função interna
Então
. A regra da cadeia diz que, ao derivar uma composição
em relação a
, fazemos
Aqui
(porque
é tratado como constante ao derivar em relação a
). Portanto
Escrevendo de forma limpa:
Passo 4
Agora
. Mesma ideia: usar
e a regra da cadeia para derivar em relação a
:
Aqui
. Então
ou seja
Passo 5
Agora as segundas derivadas. Primeiro
: derivamos
em relação a
. Começamos de
Novamente aplicamos a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
. Logo
Como
, obtemos
Passo 6
Agora
: derivamos
em relação a
. Partindo de
a derivada é
Como
, temos
Passo 7
Finalmente
(derivada mista): podemos derivar
em relação a
ou
em relação a
; para funções suaves as duas ordens coincidem (teorema de Clairaut). Vou derivar
:
Derivando em relação a
:
Como
, temos
Se quisermos checar, derivando
em relação a
obtém-se o mesmo resultado, confirmando
.
Passo 8
Resumo final (útil para decorar e aplicar na prova): as derivadas seguem sempre a mesma receita quando a função é
de uma combinação linear: cada derivação puxa um fator da derivada da combinação linear e troca
por
(ou
por
na segunda derivação), e assim por diante.