Resolva os seguintes exercícios, calculando as derivadas parciais de primeira e segunda ordem:
Para v(x, y)=\cos (2 x+3 y). Calcule:
  • v_{x} ; v_{y}
  • v_{x x} ; v_{y y} ; v_{x y}

Passo 1

O enunciado dá a função
v(x,y)=\cos(2x+3y)
e pede que calculemos as derivadas parciais de primeira ordem v_{x} e v_{y}, e as derivadas parciais de segunda ordem v_{xx}, v_{yy} e v_{xy}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a função é explicitamente dependente de x e y apenas através da combinação linear 2x+3y.

Passo 2

O que é derivada parcial?
A derivada parcial de v em relação a x, v_{x}, é a taxa de variação de v quando x varia e y fica fixo. Analogamente, v_{y} é a taxa de variação quando y varia e x fica fixo. Para calcular, tratamos a outra variável como constante e derivamos normalmente. Vou fazer isso passo a passo, devagar.

Passo 3

Vamos calcular v_{x}.
Definimos a função interna
u(x,y)=2x+3y.
Então v(x,y)=\cos(u(x,y)). A regra da cadeia diz que, ao derivar uma composição \cos(u(x,y)) em relação a x, fazemos
\frac{\partial}{\partial x}\cos(u)= -\sin(u)\cdot \frac{\partial u}{\partial x}.
Aqui \frac{\partial u}{\partial x}=2 (porque 3y é tratado como constante ao derivar em relação a x). Portanto
v_{x} = -\sin(2x+3y)\cdot 2.
Escrevendo de forma limpa:
v_{x} = -2\sin(2x+3y).

Passo 4

Agora v_{y}. Mesma ideia: usar u=2x+3y e a regra da cadeia para derivar em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}\cos(u)= -\sin(u)\cdot \frac{\partial u}{\partial y}.
Aqui \frac{\partial u}{\partial y}=3. Então
v_{y} = -\sin(2x+3y)\cdot 3,
ou seja
v_{y} = -3\sin(2x+3y).

Passo 5

Agora as segundas derivadas. Primeiro v_{xx}: derivamos v_{x} em relação a x. Começamos de
v_{x} = -2\sin(2x+3y).
Novamente aplicamos a regra da cadeia: a derivada de \sin(u) em relação a x é \cos(u)\cdot u_x. Logo
v_{xx} = -2\cdot \cos(2x+3y)\cdot \frac{\partial}{\partial x}(2x+3y).
Como \frac{\partial}{\partial x}(2x+3y)=2, obtemos
v_{xx} = -2\cdot \cos(2x+3y)\cdot 2 = -4\cos(2x+3y).

Passo 6

Agora v_{yy}: derivamos v_{y} em relação a y. Partindo de
v_{y} = -3\sin(2x+3y),
a derivada é
v_{yy} = -3\cdot \cos(2x+3y)\cdot \frac{\partial}{\partial y}(2x+3y).
Como \frac{\partial}{\partial y}(2x+3y)=3, temos
v_{yy} = -3\cdot \cos(2x+3y)\cdot 3 = -9\cos(2x+3y).

Passo 7

Finalmente v_{xy} (derivada mista): podemos derivar v_{x} em relação a y ou v_{y} em relação a x; para funções suaves as duas ordens coincidem (teorema de Clairaut). Vou derivar v_{x}:
v_{x} = -2\sin(2x+3y).
Derivando em relação a y:
v_{xy} = -2\cdot \cos(2x+3y)\cdot \frac{\partial}{\partial y}(2x+3y).
Como \frac{\partial}{\partial y}(2x+3y)=3, temos
v_{xy} = -2\cdot \cos(2x+3y)\cdot 3 = -6\cos(2x+3y).
Se quisermos checar, derivando v_{y}=-3\sin(2x+3y) em relação a x obtém-se o mesmo resultado, confirmando v_{xy}=v_{yx}.

Passo 8

Resumo final (útil para decorar e aplicar na prova): as derivadas seguem sempre a mesma receita quando a função é \cos de uma combinação linear: cada derivação puxa um fator da derivada da combinação linear e troca \cos por -\sin (ou -\sin por \cos na segunda derivação), e assim por diante.

Resposta

v_{x}=-2\sin(2x+3y)
v_{y}=-3\sin(2x+3y)
v_{xx}=-4\cos(2x+3y)
v_{yy}=-9\cos(2x+3y)
v_{xy}=-6\cos(2x+3y)

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