Resolva os seguintes exercícios, encontrando e classificando todos os pontos críticos.
f(x, y)=x^{2}-y^{2}+2 x-4 y

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todos os pontos críticos de f(x,y)=x^{2}-y^{2}+2x-4y e classificá‑los (mínimo, máximo ou ponto de sela).
Informações dadas: a função explícita é \;f(x,y)=x^{2}-y^{2}+2x-4y\; e está definida para todos os (x,y)\in\mathbb{R}^2. Não há restrições no domínio.

Passo 2

O que é um ponto crítico (explicação didática, passo a passo)?
  • Um ponto (x_0,y_0) é crítico se a derivada parcial de f em relação a x e a derivada parcial em relação a y são simultaneamente zero ou não existem. Aqui as derivadas existem sempre, então procuramos onde as derivadas parciais são nulas.
  • As derivadas parciais são as taxas de variação de f quando variamos apenas uma variável mantendo a outra fixa. Para achar pontos críticos, calculamos \partial f/\partial x e \partial f/\partial y e resolvemos o sistema \nabla f=(0,0).

Passo 3

Calcule as derivadas parciais (faça devagar):
  • Para \partial f/\partial x: trate y como constante. \partial (x^{2})/\partial x = 2x, \partial (2x)/\partial x = 2, e \partial(-y^{2}-4y)/\partial x = 0. Logo
\frac{\partial f}{\partial x}=2x+2.
  • Para \partial f/\partial y: trate x como constante. \partial (-y^{2})/\partial y = -2y, \partial(-4y)/\partial y = -4, e \partial(x^{2}+2x)/\partial y = 0. Logo
\frac{\partial f}{\partial y}=-2y-4.

Passo 4

Encontre os pontos onde as derivadas parciais se anulam (resolvendo o sistema):
Resolvemos
\begin{cases} 2x+2=0,\\[4pt] -2y-4=0. \end{cases}
Resolva cada equação: da primeira vem 2x+2=0\Rightarrow 2x=-2\Rightarrow x=-1. Da segunda vem -2y-4=0\Rightarrow -2y=4\Rightarrow y=-2. Portanto existe um único ponto crítico:
(x,y)=(-1,-2).]

Passo 5

Como classificar o ponto crítico? (segunda derivada — explicação didática)
  • Para funções de duas variáveis usamos a matriz Hessiana e o determinante associado. A Hessiana reúne as segundas derivadas:
H(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}.
  • O teste de segunda derivada padrão diz: calcule D=f_{xx}\,f_{yy}-(f_{xy})^{2} no ponto crítico. Então
    • se D>0 e f_{xx}>0 => mínimo local;
    • se D>0 e f_{xx}<0 => máximo local;
    • se D<0 => ponto de sela (saddle);
    • se D=0 => teste inconclusivo.
      Explicação intuitiva: f_{xx} mede curvatura na direção x, f_{yy} mede na direção y; se as curvaturas têm sinais opostos, a função sobe numa direção e desce noutra → sela.]

Passo 6

Calcule as segundas derivadas necessárias (passo a passo):
  • Já tínhamos f_x=2x+2 e f_y=-2y-4. Diferenciando de novo:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(2x+2)=2,
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(-2y-4)=-2,
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(2x+2)=0,\qquad f_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}(-2y-4)=0.
Portanto a Hessiana em qualquer ponto é
H=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & -2\end{pmatrix}.]

Passo 7

Aplique o teste: calcule D no ponto crítico.
D=f_{xx}\,f_{yy}-(f_{xy})^{2}=2\cdot(-2)-0^{2}=-4.
Como D=-4<0, pelo teste de segunda derivada o ponto crítico é um ponto de sela. Ou seja, localmente a função aumenta em algumas direções e diminui em outras.

Passo 8

Verificação intuitiva por completar quadrados (ajuda a visualizar):
Complete quadrados em f:
f(x,y)=x^{2}+2x-(y^{2}+4y).
x^{2}+2x=(x+1)^{2}-1,\qquad y^{2}+4y=(y+2)^{2}-4.
Logo
f(x,y)=(x+1)^{2}-(y+2)^{2}+3.
No ponto (x,y)=(-1,-2) temos f(-1,-2)=3. Se variarmos apenas x mantendo y=-2, f=(x+1)^{2}+3 cresce (comportamento de mínimo nessa direção); se variarmos apenas y mantendo x=-1, f=3-(y+2)^{2} diminui (comportamento de máximo nessa direção). Isso confirma que é ponto de sela.

Resposta

Ponto crítico: (-1,-2) — ponto de sela; valor f(-1,-2)=3.

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