Resolva os seguintes exercícios, encontrando e classificando todos os pontos críticos.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todos os pontos críticos de
e classificá‑los (mínimo, máximo ou ponto de sela).
Informações dadas: a função explícita é e está definida para todos os
. Não há restrições no domínio.
Informações dadas: a função explícita é
Passo 2
O que é um ponto crítico (explicação didática, passo a passo)?
- Um ponto
é crítico se a derivada parcial de em relação a e a derivada parcial em relação a são simultaneamente zero ou não existem. Aqui as derivadas existem sempre, então procuramos onde as derivadas parciais são nulas. - As derivadas parciais são as taxas de variação de
quando variamos apenas uma variável mantendo a outra fixa. Para achar pontos críticos, calculamos e e resolvemos o sistema .
Passo 3
Calcule as derivadas parciais (faça devagar):
- Para
: trate como constante. , , e . Logo
- Para
: trate como constante. , , e . Logo
Passo 4
Encontre os pontos onde as derivadas parciais se anulam (resolvendo o sistema):
Resolvemos
Resolvemos
Resolva cada equação: da primeira vem
. Da segunda vem
. Portanto existe um único ponto crítico:
Passo 5
Como classificar o ponto crítico? (segunda derivada — explicação didática)
- Para funções de duas variáveis usamos a matriz Hessiana e o determinante associado. A Hessiana reúne as segundas derivadas:
- O teste de segunda derivada padrão diz: calcule
no ponto crítico. Então - se
e => mínimo local; - se
e => máximo local; - se
=> ponto de sela (saddle); - se
=> teste inconclusivo.
Explicação intuitiva:mede curvatura na direção , mede na direção ; se as curvaturas têm sinais opostos, a função sobe numa direção e desce noutra → sela.]
- se
Passo 6
Calcule as segundas derivadas necessárias (passo a passo):
- Já tínhamos
e . Diferenciando de novo:
Portanto a Hessiana em qualquer ponto é
Passo 7
Aplique o teste: calcule
no ponto crítico.
Como
, pelo teste de segunda derivada o ponto crítico é um ponto de sela. Ou seja, localmente a função aumenta em algumas direções e diminui em outras.
Passo 8
Verificação intuitiva por completar quadrados (ajuda a visualizar):
Complete quadrados em :
Complete quadrados em
Logo
No ponto
temos
. Se variarmos apenas
mantendo
,
cresce (comportamento de mínimo nessa direção); se variarmos apenas
mantendo
,
diminui (comportamento de máximo nessa direção). Isso confirma que é ponto de sela.
Resposta
Ponto crítico:
— ponto de sela; valor
.