Resolva, em R, as seguintes inequações.
12x+4 <= 11-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação 12x+4 <= 11-x nos números reais. Aqui, vamos usar conhecimentos de álgebra, especialmente sobre frações e inequações. Vamos precisar entender como manipular frações e como resolver desigualdades envolvendo variáveis no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores de x que não são permitidos nessa inequação. Já que temos denominadores, eles não podem ser iguais a zero porque não podemos dividir por zero.
Para 2x + 4 neq 0 :
2x + 4 neq 0 implies 2x neq -4 implies x neq -2
Para 1 - x neq 0 :
1 - x neq 0 implies x neq 1
Então, x não pode ser -2 nem 1.

Passo 3

Agora, vamos resolver a inequação original:
12x+4 <= 11-x
Para facilitar a resolução, vamos trazer tudo para um lado da inequação:
12x+4 - 11-x <= 0

Passo 4

Vamos encontrar um denominador comum para as duas frações. O denominador comum será o produto dos denominadores individuais:
(2x + 4)(1 - x)
Agora, reescrevemos as frações com esse denominador:
1 cdot (1 - x)(2x + 4)(1 - x) - 1 cdot (2x + 4)(2x + 4)(1 - x) <= 0

Passo 5

Subtraindo as frações, temos:
(1 - x) - (2x + 4)(2x + 4)(1 - x) <= 0
Simplificando o numerador:
1 - x - 2x - 4 = -3x - 3
Então, a inequação fica:
-3x - 3(2x + 4)(1 - x) <= 0

Passo 6

Vamos fatorar o numerador e os denominadores para facilitar a análise:
-3(x + 1)2(x + 2)(1 - x) <= 0
Podemos também escrever 1 - x como -(x - 1):
-3(x + 1)2(x + 2)(-1)(x - 1) = 3(x + 1)2(x + 2)(x - 1)
Portanto, a inequação simplifica para:
3(x + 1)2(x + 2)(x - 1) >= 0

Passo 7

Agora, vamos encontrar os valores críticos que tornam o numerador ou o denominador iguais a zero:
  • x + 1 = 0 implies x = -1
  • x + 2 = 0 implies x = -2
  • x - 1 = 0 implies x = 1
Esses pontos dividem a linha dos números reais em intervalos. Vamos analisar o sinal da expressão em cada intervalo.

Passo 8

Os intervalos são:
  1. x < -2
  2. -2 < x < -1
  3. -1 < x < 1
  4. x > 1
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e verificar o sinal da expressão 3(x + 1)2(x + 2)(x - 1) :
  1. x = -3 :
3(-3 + 1)2(-3 + 2)(-3 - 1) = 3(-2)2(-1)(-4) = -68 < 0
  1. x = -1.5 :
3(-1.5 + 1)2(-1.5 + 2)(-1.5 - 1) = 3(-0.5)2(0.5)(-2.5) = -1.5-2.5 > 0
  1. x = 0 :
3(0 + 1)2(0 + 2)(0 - 1) = 32(2)(-1) = 3-4 < 0
  1. x = 2 :
3(2 + 1)2(2 + 2)(2 - 1) = 92(4)(1) = 98 > 0

Passo 9

Agora, vamos considerar onde a expressão é maior ou igual a zero:
  • Intervalo -2 < x < -1 : A expressão é positiva.
  • Intervalo x > 1 : A expressão é positiva.
  • Nos pontos x = -1 e x = 1 : A expressão é zero ou indefinida.
Portanto, a solução da inequação é:
-2 < x <= -1 ou x > 1

Resposta

A solução da inequação é -2 < x <= -1 ou x > 1 .

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